극단 분리 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''극단 분리 공간'''(極端分離空間, {{llang|en|extremally disconnected space}})은 임의의 [[열린집합]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]가 [[열린집합]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 특정 [[분리공리]]를 가정하였을 때, [[완전 분리 공간]]이나 각종 ‘0차원’ 조건들보다 더 강한 비연결성을 정의한다. [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 경우, 범주론적으로 [[사영 대상]]으로 묘사할 수 있으며, [[스톤 공간]]으로서 대응하는 [[불 대수]]는 정확히 [[완비 불 대수]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''극단 분리 공간'''이라고 한다.<ref name="Willard">{{서적 인용
|성1=Willard
|이름1=Stephen
|제목=General topology
|언어=en
|총서=Addison-Wesley Series in Mathematics
|출판사=Addison-Wesley Publishing Company
|위치=Reading, Massachusetts, Menlo Park, California, London, Don Mills, Ontario
|날짜=1970
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|106–107, Exercise 15G, 1}}
* ㈀ 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{cl}U</math>는 [[열린집합]]이다.
* ㈁ 임의의 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}V=\varnothing</math>
* ㈂ 임의의 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여, <math>U\subseteq f^{-1}(0)</math>, <math>V\subseteq f^{-1}(1)</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>이 존재한다.
* ㈃ 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon U\to[0,1]</math>에 대하여, <math>\tilde f|_U=f</math>인 [[연속 함수]] <math>\tilde f\colon X\to[0,1]</math>이 존재한다.
{{증명}}
㈀ ⇒ ㈁. <math>U,V\subseteq X</math>가 [[열린집합]]이며, <math>U\cap V=\varnothing</math>이라고 하자. <math>U</math>가 [[열린집합]]이므로, <math>U\cap\operatorname{cl}V=\varnothing</math>이다. 마찬가지로, <math>\operatorname{cl}V</math>가 [[열린집합]]이므로, <math>\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}V=\varnothing</math>이다.

㈁ ⇒ ㈀. 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. <math>U</math>와 <math>X\setminus\operatorname{cl}U</math>는 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]이므로,
:<math>\varnothing=\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)=\operatorname{cl}U\cap X\setminus\operatorname{int}(X\setminus\operatorname{cl}U)</math>
이다. 즉, <math>\operatorname{cl}U</math>는 [[열린집합]]이다.

㈀㈁ ⇒ ㈂. [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 주어졌을 때, <math>\operatorname{cl}U</math>, <math>\operatorname{cl}V</math>, <math>X\setminus(\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}V)</math>는 [[서로소 집합|서로소]] [[열린닫힌집합]]이다. 따라서, 함수
:<math>f\colon X\to[0,1]</math>
:<math>f|_{\operatorname{cl}U}=0</math>
:<math>f|_{\operatorname{cl}V}=1</math>
:<math>f|_{X\setminus(\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}V)}=1/2</math>
은 [[연속 함수]]이다.

㈂ ⇒ ㈁. [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 조건 ㈂에 따라, <math>U\subseteq f^{-1}(0)</math>, <math>V\subseteq f^{-1}(1)</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>를 고르자. 그렇다면,
:<math>\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}V\subseteq\operatorname{cl}f^{-1}(0)\cap\operatorname{cl}f^{-1}(1)=f^{-1}(0)\cap f^{-1}(1)=\varnothing</math>
이다.

㈀㈁㈂ ⇒ ㈃. [[티체 확장 정리]]의 증명과 같은 방법을 사용하여 다음을 보일 수 있다. 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[부분 집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon U\to[0,1]</math>에 대하여, <math>\tilde f|_U=f</math>인 [[연속 함수]] <math>\tilde f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon U\to[0,1]</math>에 대하여, <math>f^{-1}(0)\subseteq\tilde f^{-1}(1)</math>, <math>f^{-1}(1)\subseteq\tilde f^{-1}(1)</math>인 [[연속 함수]] <math>\tilde f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다.
따라서, 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>가 두 번째 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 족하다. [[연속 함수]] <math>f\colon U\to[0,1]</math>가 주어졌다고 하자. <math>U</math>가 [[열린집합]]이므로,
:<math>V=f^{-1}([0,1/3))</math>
:<math>W=f^{-1}((2/3,1])</math>
은 <math>X</math>의 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]이다. 조건 ㈂에 따라,
:<math>V\subseteq\tilde f^{-1}(0)</math>
:<math>W\subseteq\tilde f^{-1}(1)</math>
인 [[연속 함수]] <math>\tilde f\colon X\to[0,1]</math>이 존재한다. 따라서
:<math>f^{-1}(0)\subseteq V\subseteq\tilde f^{-1}(0)</math>
:<math>f^{-1}(1)\subseteq W\subseteq\tilde f^{-1}(1)</math>
이다.

㈃ ⇒ ㈁. [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 조건 ㈃에 따라, <math>U\subseteq f^{-1}(0)</math>, <math>V\subseteq f^{-1}(1)</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>\operatorname{cl}U\cap\operatorname{cl}V\subseteq\operatorname{cl}f^{-1}(0)\cap\operatorname{cl}f^{-1}(1)=f^{-1}(0)\cap f^{-1}(1)=\varnothing</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 [[이산 공간]]은 극단 분리 공간이다. 모든 극단 분리 [[하우스도르프 공간]]은 [[완전 분리 공간]]이다. 극단 분리 [[하우스도르프 공간]]에서, 수렴 점렬은 결국 상수 점렬밖에 없다. 따라서, [[제1 가산 공간]]인 극단 분리 [[하우스도르프 공간]]은 [[이산 공간]]밖에 없다. 모든 극단 분리 [[정칙 공간]]은 [[완비 정칙 공간]]이다. 임의의 극단 분리 [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여,
:<math>\dim X=0</math>
이다 (<math>\dim</math>은 [[르베그 덮개 차원]]).<ref name="Engelking" />{{rp|328, Theorem 6.2.25}} 이는 <math>\operatorname{ind}X=0</math>이나 [[완전 분리 공간]]보다 강한 조건이다.
{{증명}}
[[이산 공간]]의 부분 집합은 스스로의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이므로, 모든 [[이산 공간]]은 자명하게 극단 분리 공간이다.

<math>X</math>가 극단 분리 공간이자 [[하우스도르프 공간]]이며, <math>S\subseteq X</math>가 두 점 이상을 포함하는 부분 집합이며, <math>x,y\in S</math>가 서로 다른 두 점이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, <math>y\not\in\operatorname{cl}U</math>인 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다. <math>X</math>가 극단 분리 공간이므로, <math>\operatorname{cl}U</math>는 [[열린닫힌집합]]이다. 따라서 <math>S</math>는 [[연결 집합]]이 아니며, <math>X</math>는 [[완전 분리 공간]]이다.

이제, 극단 분리 [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에서, 점렬 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>이 점 <math>x\in X</math>로 수렴하지만, 결국 상수 점렬이 아니라고 가정하자. 그렇다면,
:<math>x\not\in\operatorname{cl}U_k\qquad(k=0,1,\ldots)</math>
가 되는 [[부분 점렬]] <math>(x_{n_k})_{k=0}^\infty</math> 및 서로소 [[열린 근방]]
:<math>U_k\ni x_{n_k}\qquad(k=0,1,\ldots)</math>
들을 재귀적으로 정의할 수 있다. 부분 점렬 <math>(x_{n_0},\ldots,x_{n_{k-1}})</math> 및 서로소 [[열린 근방]] <math>U_i\ni x_{n_i}</math> (<math>i=0,\ldots,k-1</math>)이 존재하며, <math>x\not\in\operatorname{cl}U_i</math> (<math>i=0,\ldots,k-1</math>)라고 하자. 그렇다면 <math>x_{n_k}\in X\setminus(\operatorname{cl}U_0\cup\cdots\operatorname{cl}U_{k-1})</math>, <math>x_{n_k}\ne x</math>인 <math>n_k>n_{k-1}</math>가 존재한다. 하우스도르프 조건에 따라, <math>x\not\in\operatorname{cl}V</math>인 [[열린 근방]] <math>V\ni x_{n_k}</math>이 존재한다. 이제 <math>U_k=V\setminus(\operatorname{cl}U_0\cup\cdots\operatorname{cl}U_{k-1})</math>로 잡는다. 이제,
:<math>U=\bigcup_{i=0}^\infty U_{2i}</math>
라고 하자. <math>X</math>가 극단 분리 공간이므로 <math>\operatorname{cl}U</math>는 [[열린집합]]이며, <math>x</math>가 <math>(x_{n_{2i}})_{i=0}^\infty</math>의 [[극한]]이므로 <math>x\in\operatorname{cl}U</math>이다. 따라서, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>x_n\in\operatorname{cl}U</math>이다. 특히 <math>x_{n_k}\in\operatorname{cl}U</math>인 홀수 <math>k</math>가 존재한다. 그러나 <math>x_{n_k}\in U_k</math>이며 <math>U_k\cap U=\varnothing</math>이므로 <math>x_{n_k}\in\operatorname{cl}U</math>일 수 없다. 이는 모순이다. 즉, <math>X</math>에서 모든 수렴 점렬은 결국 상수 점렬이다. 만약 <math>X</math>가 극단 분리 [[하우스도르프 공간]]이자 [[제1 가산 공간]]이라면, 임의의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>은 점렬 극한에 대하여 닫혀 있으므로, [[닫힌집합]]이다. 즉, <math>X</math>는 [[이산 공간]]이다.

<math>X</math>가 극단 분리 공간이자 [[정칙 공간]]이며, <math>F\subseteq X</math>가 [[닫힌집합]]이며, <math>x\in X\setminus F</math>라고 하자. 정칙 공간 조건에 따라, <math>\operatorname{cl}U\subseteq X\setminus F</math>인 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다. <math>X</math>가 극단 분리 공간이므로, <math>\operatorname{cl}U</math>는 [[열린닫힌집합]]이다. 따라서, 함수
:<math>f\colon X\to[0,1]</math>
:<math>f|_{\operatorname{cl}U}=0</math>
:<math>f|_{X\setminus\operatorname{cl}U}=1</math>
는 [[연속 함수]]이며, <math>x</math>와 <math>F</math>를 분리한다. 따라서 <math>X</math>는 [[완비 정칙 공간]]이다.

[[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\dim X=0</math>
* 임의의 [[서로소 집합|서로소]] [[닫힌집합]] <math>E,F\subseteq X</math>에 대하여, <math>E\subseteq U\subseteq X\setminus F</math>인 [[열린닫힌집합]] <math>U</math>가 존재한다.

<math>X</math>가 극단 분리 [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]이며, <math>E,F\subseteq X</math>가 [[서로소 집합|서로소]] [[닫힌집합]]이라고 하자. 그렇다면, [[우리손 보조정리]]에 따라
:<math>E\subseteq f^{-1}(0)\subseteq X\setminus f^{-1}(1)\subseteq X\setminus F</math>
인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다. 이 경우
:<math>U=\operatorname{cl}f^{-1}([0,1/2))</math>
은 [[열린닫힌집합]]이며,
:<math>E\subseteq f^{-1}(0)\subseteq U\subseteq f^{-1}([0,1/2])\subseteq X\setminus f^{-1}(1)\subseteq X\setminus F</math>
을 만족시킨다.
{{증명 끝}}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
극단 분리 공간의 [[열린집합]]은 극단 분리 공간이다. 극단 분리 공간의 [[조밀 집합]]은 극단 분리 공간이다. 극단 분리 공간의 [[닫힌집합]]은 극단 분리 공간일 필요가 없다. 극단 분리 [[티호노프 공간]] <math>X</math>의 [[스톤-체흐 콤팩트화]] <math>\beta X</math>는 극단 분리 공간이다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|328, Theorem 6.2.27}} 특히, [[이산 공간]]의 [[스톤-체흐 콤팩트화]]는 극단 분리 공간이다. 극단 분리 공간들의 [[곱공간]]은 극단 분리 공간일 필요가 없다.

=== 범주론적 성질 ===
{{참고|완비 불 대수}}
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 [[동치]]이다.
* 극단 분리 공간이다.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]와 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{CompHaus}</math>에서의 [[사영 대상]]이다.<ref name="Gleason">{{저널 인용
|성=Gleason
|이름=Andrew M.
|제목=Projective topological spaces
|언어=en
|저널=Illinois Journal of Mathematics
|권=2
|쪽=482–489
|날짜=1958
|issn=0019-2082
|doi=10.1215/ijm/1255454110
|mr=0121775
|zbl=0083.17401
}}</ref>{{rp|484, Theorem 2.5}}
* [[완비 불 대수]]의 [[스톤 공간]] 표현과 [[위상 동형]]이다.<ref name="Gleason" />{{rp|485}}

[[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Gleason" />{{rp|488, Theorem 4.2}}
* 극단 분리 공간이다.
* [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[고유 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 [[사영 대상]]이다.

== 예 ==
[[유리수]]의 공간 <math>\mathbb Q</math>는 [[완전 분리 공간]]이며, [[르베그 덮개 차원]]이 0이지만, 극단 분리 공간이 아니다. 예를 들어, <math>(0,1)\cap\mathbb Q</math>는 [[열린집합]]이지만, 그 [[폐포 (위상수학)|폐포]] <math>[0,1]\cap\mathbb Q</math>는 [[열린집합]]이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[완전 분리 공간]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Extremally-disconnected space|성=Arkhangel'skii|이름=A. V.}}
* {{nlab|id=extremally disconnected topological space|제목=Extremally disconnected topological space}}

[[분류:위상 공간의 성질]]