극관성모멘트 문서 원본 보기

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'''극관성모멘트'''(極慣性-, polar moment of inertia)는 [[비틂 (역학)|비틂]]에 저항하는 성질을 나타낸 값이다. [[돌림힘]]이 작용하는 물체의 비틀림을 계산하기 위해서 필요하다. [[휨]]에 대한 저항을 나타낸 값인 [[단면 이차 모멘트]](처짐을 계산하는 데 필요함)와 유사하다.

극관성모멘트의 값이 클수록, 같은 돌림힘이 제한되었을 때 비틀림은 작아진다.

== 정의 ==
[[파일:PolarMomentOfInertia.jpg|섬네일|오른쪽|300px|임의의 단면에 대한 극관성모멘트]]
오른쪽의 그림과 같은 임의의 단면에 대해서 극관성 모멘트는

:<math>I_p = \int^{}_{A} \rho ^2 dA </math>

로 정의된다. 여기서

* ''I''<sub>''p''</sub> - 원점 ''O''를 지나며 평면에 수직인 축에 대한 극관성모멘트
* ''dA'' - 미소 면적 요소
* ''ρ'' - 중심축으로부터 면적 요소 ''dA'' 까지의 거리


한편, <math> \rho ^2 =  {x^2} + {y^2}  </math> 이므로,

:<math>I_p = \int^{}_{A} ( x^2 + y^2 ) dA = \int^{}_{A} x^2 dA + \int^{}_{A} y^2 dA = I_y + I_x </math>

로도 나타낼 수 있다. 이때 ''I''<sub>''x''</sub>, ''I''<sub>''y''</sub>는 각각 ''x''축, ''y''축에 대한 단면 이차 모멘트이다.


극관성모멘트를 ''I''<sub>''p''</sub> 대신 ''J''로 나타내기도 한다.

== 단위 ==
극관성모멘트의 [[SI 단위계|SI]] [[단위]]는 단면 이차 모멘트와 같은 네제곱 [[미터]](m<sup>4</sup>)이다. [[야드파운드법]]과 [[미국 단위계]]에서는 네제곱 인치(in.<sup>4</sup>)도 사용된다.

== 응용 ==
극관성모멘트는 비틂으로 인한 [[전단 응력]]과 비틀림각에 대한 공식에 나타난다.

비틀림 공식:

:<math>\tau = \frac{T \rho}{I_{p}} </math>

* ''τ'' - 전단 응력
* ''T'' - 돌림힘
* ''ρ'' - 중심축으로부터의 거리
* ''I''<sub>''p''</sub> - 극관성 모멘트


원형단면봉에 대해서, 비틂으로 인한 최대 전단 응력은 단면의 가장 바깥 표면(돌림힘이 최대)에서 발생한다. 즉:

:<math>T_{max} = \frac{{\tau}_{max} I_{p}}{r}</math>

== 예제 ==
단면의 반지름이 ''r''인 원형단면봉의 단면 도심을 지나며 단면에 수직한 중심축에 대한 극관성 모멘트:

:<math>I_{p} = \int \rho ^2 dA = \int ^r _0 2 \pi \rho ^3 d \rho = \frac{\pi r^4}{2} </math>

== 같이 보기 ==
* [[단면 이차 모멘트]]

== 외부 링크 ==
* [http://www.engineeringtoolbox.com/torsion-shafts-d_947.html 여러 가지 단면 봉의 극관성 모멘트] - engineeringtoolbox.com

[[분류:연속체역학]]
[[분류:재료역학]]
[[분류:구조역학]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]