그물 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''그물'''({{llang|en|net|네트}}) 또는 '''무어-스미스 열'''(Moore-Smith列, {{llang|en|Moore–Smith sequence}})은 [[점렬]]의 일반화이다. [[점렬]]과 달리, 그 지수가 자연수 대신 임의의 [[상향 원순서 집합]]일 수 있다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''그물'''은 어떤 [[상향 원순서 집합]] <math>I</math>에 대하여 <math>I</math>에서 <math>X</math>로 가는 [[함수]] <math>x_\bullet\colon I\to X</math>이다. 이는 흔히 [[점렬]]과 유사하게 첨자로 <math>(x_i)_{i\in I}</math>와 같이 표기한다.

[[점렬]]은 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb N,\le)</math>에서 어떤 집합으로 가는 [[함수]]이므로, 그물은 [[점렬]]의 일반화이다.

[[상향 원순서 집합]] <math>I</math>와 [[집합]] <math>X</math> 및 <math>X</math> 속의 그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math> 및 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>\{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\subseteq S</math>가 성립하는 <math>i_0\in I</math>가 존재한다면, <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 '''최종적으로 <math>S</math>에 속한다'''({{llang|en|eventually in Y}})고 한다.
* 만약 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>x_j\in S</math>인 <math>j\gtrsim i</math>가 존재한다면, <math>(x_i)_{i\in I}</math>가  '''빈번히 <math>S</math>에 속한다'''고 한다.

<math>(x_i)_{i\in I}</math>가 '''극대 그물'''(極大-, ultranet, universal net)일 필요충분조건은, X의 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여 <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 최종적으로 <math>S</math>에 속하거나 최종적으로 [[여집합]] <math>X\setminus S</math>에 속하는 것이다. 이는 [[극대 필터]]에 대응되는 개념이다.

=== 극한 ===
[[상향 원순서 집합]] <math>I</math>와 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>X</math> 속의 그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 '''<math>x</math>로 수렴한다'''({{llang|en|converges toward <math>x</math>}}) 또는 '''극한 <math>x</math>를 갖는다'''({{llang|en|has limit <math>x</math>}})고 한다.
* <math>x</math>의 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여 <math>(x_i)_{i\in I}</math>는 최종적으로 <math>U</math>에 속한다.
그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 <math>x</math>로 수렴할 경우, [[점렬]]의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.
: <math>\lim_{i\in I}x_i=x</math>

만약 <math>X</math>에 [[기저 (위상수학)|기저]]가 주어져 있을 경우, 그물이 <math>x</math>로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로 <math>x</math>를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

=== 상극한과 하극한 ===
[[상향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math>에서 실수로 가는 그물의 경우, [[상극한]]·[[하극한]]을 [[점렬]]의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.<ref>Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). ''Infinite dimensional analysis: A hitchhiker's guide'' (Third ed.). Berlin: Springer. pp. xxii+703 pp.. {{ISBN|978-3-540-32696-0}}, 3-540-32696-0. MR [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2378491 2378491].</ref>{{rp|32}}<ref>Megginson, Robert E. (1998). ''An Introduction to Banach Space Theory''. Graduate Texts in Mathematics. '''193'''. New York: Springer. {{ISBN|0-387-98431-3}}</ref>{{rp|217, 221, Exercises 2.53-2.55}}<ref>Beer, Gerald (1993). ''Topologies on closed and closed convex sets''. Mathematics and its Applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340. {{ISBN|0-7923-2531-1}}. MR [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1269778 1269778]</ref>{{rp|2}}
:<math>\limsup_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\sup_{i\lesssim j}x_j=\inf_{i\in I}\sup_{i\lesssim j} x_j</math>
:<math>\liminf_{i\in I}x_i=\lim_{i\in I}\inf_{i\lesssim j}x_j=\sup_{i\in I}\inf_{i\lesssim j} x_j</math>
그물의 상극한과 하극한은 [[점렬]]에서와 비슷한 성질을 갖는다. 예를 들어, 다음이 항상 성립한다.
:<math> \limsup (x_\alpha+y_\alpha) \le \limsup x_\alpha+\limsup y_\alpha,</math>
이 [[부등식]]에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

== 성질 ==
=== 연속 함수 ===
[[점렬]]은 위상 공간의 각종 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 [[점렬]]이 [[자연수]]를 [[정의역]]으로 갖는데, 자연수 집합은 [[가산 집합]]이므로 지나치게 작기 때문이다. 예를 들어, 일반적인 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 [[동치]]가 아니다.
* [[연속 함수]]이다.
* 임의의 [[점렬]] <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X</math>이 만약 <math>x\in X</math>에 수렴한다면, <math>(f(x_n))_{n\in\mathbb N}</math> 역시 <math>f(x)</math>로 수렴한다.
전자는 후자를 항상 함의하며, X, Y가 [[제1 가산 공간]]일 경우에는 후자가 전자를 함의하지만, 일반적 위상 공간에 대해서는 후자가 전자를 함의하지 못할 수 있다.

그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 및 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[연속 함수]]이다.
* 임의의 그물 <math>(x_i)_{i\in I}\subseteq X</math>이 만약 <math>x\in X</math>에 수렴한다면, 그물 <math>(f(x_i))_{i\in I}</math> 역시 <math>f(x)</math>로 수렴한다.

=== 닫힌집합 · 콤팩트 집합 ===
위상 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[닫힌집합]]이다.
* <math>S</math> 속의 임의의 그물의 임의의 (<math>X</math> 속에서 취한) 극한은 <math>S</math>의 원소이다. 즉, 그물 극한은 <math>S</math>를 벗어나지 않는다.
위상 공간 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x\in\operatorname{cl}(S)</math>. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.
* <math>x</math>로 수렴하는 <math>S</math> 속의 그물이 존재한다.

'''[[볼차노-바이어슈트라스 정리]]'''에 따르면, 위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>X</math> 속의 임의의 그물은 수렴하는 부분 그물을 갖는다.

=== 극한의 존재·유일성 ===
일반적인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서 임의의 그물은 극한을 0개·1개·2개 이상 가질 수 있다. 그러나 [[하우스도르프 공간]] 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.

위상 공간 <math>X</math> 속의 그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math>이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때 <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.

[[곱위상]]이 주어진 [[곱공간]]의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 [[합성함수]]로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다. 이 성질과 [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]를 이용하면 [[티호노프 정리]]를 쉽게 증명할 수 있다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 속의 그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math> 및 점 <math>y\in X</math>이 다음 조건을 만족시킨다면 <math>y</math>가 <math>(x_i)_{i\in I}</math>의  '''[[집적점]]'''이라고 한다.
* <math>y</math>의 임의의 [[근방]] <math>U\ni y</math>에 대하여 <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 빈번히 <math>U</math>에 속한다.
그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 [[집적점]]의 집합은 <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

== 역사 ==
[[미국]] [[수학자]] [[일라이어킴 헤이스팅스 무어]]와 [[허먼 라일 스미스]]({{llang|en|Herman Lyle Smith}})가 [[1922년]] 처음 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Moore|이름=E. H.|저자링크=일라이어킴 헤이스팅스 무어|성2=Smith|이름2=H. L.|날짜=1922|제목=A general theory of limits|저널=American Journal of Mathematics|권=44|호=2|쪽=102–121|doi=10.2307/2370388|jstor=2370388|언어=en}}</ref>

유사한 목적으로 개발된 개념으로 [[필터 (수학)|필터]]가 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=John L.|성=Kelley|저자링크=존 리로이 켈리|제목=General topology|url=https://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-90125-1|isbn=0-387-90125-6|판=2판|날짜=1975|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=27|언어=en|출판사=Springer|zbl=0306.54002}}
* {{서적 인용 | last=Willard | first=Stephen | title=General Topology | url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0 | publisher=Addison-Wesley | isbn=978-0-201-08707-9 | mr=0264581 | 날짜=1970|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=A pedagogical history of compactness|이름=Manya|성=Raman-Sundström|arxiv=1006.4131|날짜=2014|bibcode=2010arXiv1006.4131R|언어=en}}
* Schechter, Eric (1997). ''Handbook of Analysis and its Foundations''. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608.
* {{저널 인용|제목=Nets and filters in topology|이름=R. G.|성=Bartle|쪽=551–557|저널=The American Mathematical Monthly|jstor=2307247|권=62|호=8|날짜=1955-10|doi=10.2307/2307247|zbl=0065.37901|mr=0073153|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Net (directed set)}}
* {{eom|title=Generalized sequence}}
* {{nlab|id=net|title=Net}}
* {{nlab|id=eventuality filter|title=Eventuality filter}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]