그린 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''그린 함수'''(Green's function)는 [[미분방정식]]을 풀기 위해 사용하는 함수로, [[물리학]], [[공학]]의 전반에 걸쳐 응용되고 있으며, 특히 물리의 [[양자장 이론]]에서 자주 쓰인다.
이 함수는 1830년에 이 방법을 개발한 영국의 수학자 [[조지 그린]]의 이름을 따 명명되었다.
{{포털|수학}}

== 정의와 응용 ==
[[선형 미분 연산자]] <math>L=L(x)</math> 와 함수 <math>f(x)</math>가 정의되어 있으며,

:<math>L u(x) = f(x) \qquad\qquad---\mbox{ (1)}</math>
위 식 (1)을 만족하는 <math>u(x)</math>를 찾으라는 문제를 풀 때 그린함수 해법을 사용할 수 있다.

상단의 문제에서, <math>f(x)=0</math>이면 [[제차 상미분 방정식]]이므로 해를 구하기 비교적 간단하지만 <math>f(x)\ne0</math>이면 [[비제차 상미분 방정식]]이므로 풀기가 어려워진다. 이럴 때 그린 함수를 이용하면 비교적 간단히 해를 구할 수 있다.

:<math>L G(x,s) = \delta(x-s) \qquad\qquad---\mbox{ (2)}</math> (단, 식 (2)에서 <math>\delta</math>는 [[디랙 델타 함수]])

식 (2)와 같은 성질을 가진 그린함수 <math>G(x,s)</math>를 가정하자.

식 (2)의 양변에 <math>f</math>를 곱하고 적분하면,
:<math>\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s) f(s) ds \ =f(x) = L u(x) \qquad---\mbox{ (3)}</math>

<math>L</math>은 <math>x</math>에만 작용하는 선형연산자이므로 적분밖으로 정리하면

:<math>L \int G(x,s) f(s) ds = L u(x) \qquad---\mbox{ (4)}</math>

따라서

:<math>u(x) = \int G(x,s) f(s) ds </math>

로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

이렇게 해 u(x)를 구하는 방법을 미분방정식의 그린함수해법이라 한다.

== 같이 보기 ==
* [[그린 항등식]]
* [[미분방정식]]
* [[상미분방정식]]
* [[편미분방정식]]

== 참고 문헌 ==
* Eyges, Leonard, ''The Classical Electromagnetic Field'', Dover Publications, New York, 1972. {{ISBN|0-486-63947-9}}. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. {{ISBN|1-58488-297-2}}
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. {{ISBN|1-58488-299-9}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20110905015156/http://www.boulder.nist.gov/div853/greenfn/tutorial.html Tutorial on Green's function]
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:미분방정식]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:전자기학]]
[[분류:물리학 개념]]