그로텐디크 스펙트럼 열 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''그로텐디크 스펙트럼 열'''(Grothendieck spectrum列, {{llang|en|Grothendieck spectral sequence}})은 두 [[왼쪽 완전 함자]]의 합성 함자의 [[오른쪽 유도 함자]]를 각 [[왼쪽 완전 함자]]의 [[오른쪽 유도 함자]]들로 나타내는 [[스펙트럼 열]]이다. 즉, [[유도 함자]]에 대한 일종의 [[연쇄 법칙]]이다.

== 정의 ==
[[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A,\mathcal B</math> 사이의 <math>\operatorname{Ab}</math>-[[풍성한 범주|풍성한]] [[왼쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자.  <math>F</math>-'''비순환 대상'''({{llang|en|acyclic object}})은 다음 조건을 만족시키는 대상 <math>A\in\mathcal A</math>이다.
:<math>\forall i\in\mathbb Z^+\colon \operatorname R^iF(A)=0</math>

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[아벨 범주]] <math>\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C</math>
* [[왼쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>, <math>G\colon\mathcal B\to\mathcal C</math>
* <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>A\in\mathcal A</math>
이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>\mathcal A</math>와 <math>\mathcal B</math>는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이다.
* <math>F</math>는 <math>F</math>-비순환 대상을 <math>G</math>-비순환 대상으로 대응시킨다.
* <math>A</math>는 <math>F</math>-비순환 대상들로의 분해를 갖는다.
그렇다면, <math>A</math>에 대한 '''그로텐디크 스펙트럼 열''' <math>E^{\bullet\bullet}_\bullet</math>은 다음과 같은 [[제1 사분면 스펙트럼 열]]이다.
:<math>E_2^{pq} = (\operatorname R^p G \circ\operatorname R^q F)(A)</math>
이 스펙트럼 열은 합성 함자의 <math>G\circ F</math>의 [[오른쪽 유도 함자]]로 수렴한다.
:<math>E_2^{p,q} \Rightarrow \operatorname R^{p+q} (G\circ F)(A)</math>
그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, <math>A</math>와 <math>F(A)</math>의 단사 분해에 의존한다.

=== 유도 범주와의 관계 ===
[[유도 범주]] 대신 [[유도 범주]] 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 [[자연 변환]]
:<math>\operatorname R(G\circ F)\Rightarrow\operatorname RG\circ\operatorname RF\colon\operatorname D(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal C)</math>
이 존재한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용|성=Hartshorne|이름=Robin|저자링크=로빈 하츠혼|제목=Residues and duality: lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64 |doi=10.1007/BFb0080482|isbn=978-3-540-03603-6|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=20|날짜=1966|출판사=Springer|issn=0075-8434|언어=en}}</ref>{{rp|59, Proposition I.5.4}} 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 [[유도 범주]] 사이의 함자의 성분을 표시한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|60}}

== 성질 ==
함자 <math>F</math>, <math>G</math>에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 [[5항 완전열]]은 다음과 같다.
:<math>0\to(\operatorname R^1G\circ F)(A)\to(\operatorname R^1(G\circ F))(A)\to (G\circ\operatorname R^1F)(A)\to(\operatorname R^2G\circ F)(A)\to(\operatorname R^2(G\circ F))(A)</math>

== 예 ==
=== 르레 스펙트럼 열 ===
{{본문|르레 스펙트럼 열}}
'''르레 스펙트럼 열'''({{llang|en|Leray spectral sequence}})은 다음과 같은 두 [[왼쪽 완전 함자]]에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.<ref name="Leray1"/><ref name="Leray2"/>
:<math>\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{f_*}\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}</math>
여기서 <math>f_*</math>는 위상 공간 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 의하여 유도되는 [[층 (수학)|층]]의 직상이며, <math>\Gamma_X</math>는 층의 대역 단면 함자 (즉, [[한원소 공간]] 위의 층 범주 <math>\operatorname{Sh}(\{\bullet\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}</math>로의 직상)이다. 층의 직상 <math>f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})</math>은 [[완전 함자]]인 [[왼쪽 수반 함자]]인 층 역상
:<math>f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab}</math>
:<math>f^*\dashv f_*</math>
을 가지므로, 직상 <math>f_*</math>은 [[단사층]]을 [[단사층]]에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

=== 국소-대역 Ext 스펙트럼 열 ===
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 두 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>, <math>\mathcal G</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]들을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}\xrightarrow{\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)}\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}</math>
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|제목=Topologie algébrique et théorie des faisceaux|이름=Roger|성=Godement | 저자링크=로제 고드망 | publisher=Hermann | 위치=[[파리 (프랑스)|파리]] | mr=0345092  | zbl = 0275.55010 | 판=3 | year=1973 |총서=Actualités scientifiques et industrielles | 권=1252 | 언어=fr}}</ref>{{rp|Théorème II.7.3.3}}
:<math>E^{p,q}_2(\mathcal G) = \operatorname H^p(X; \mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\Gamma_X(\mathcal O_X)}\left(\Gamma_X(\mathcal F),\Gamma_X(\mathcal G)\right)</math>
여기서
:<math>\mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(F,-)=\operatorname R^q\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)</math>
는 [[가군층]]의 국소 Ext 함자이다. ([[가군층]]의 <math>\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)</math> 함자는 [[단사층]]을 [[말랑한 층]]으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 [[비순환층]]이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) <math>\operatorname{Ext}</math>는 [[가군]]의 (대역) [[Ext 함자]]이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

=== 밑 전환 ===
[[가환환]] <math>R</math>, <math>S</math> 및 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math> 및 <math>S</math> 위의 [[가군]] <math>N</math>이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{Mod}_R\xrightarrow{\otimes_RS} \operatorname{Mod}_S\xrightarrow{\otimes_SN}\operatorname{Mod}_S</math>
이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 [[Tor 함자]]의 밑 전환({{llang|en|base change}})을 계산한다. 즉, <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.
:<math>E^{p,q}_2(M)=\operatorname{Tor}^S_p(\operatorname{Tor}^R_q(M,S),N)\Rightarrow\operatorname{Tor}^R_{p+q}(M,N)</math>
만약 <math>S</math>가 <math>R</math>-[[평탄 가군]]이라면,
:<math>\operatorname{Tor}^R_q(M,S)=\begin{cases}
M\otimes_RS&q=0\\
0&q>0
\end{cases}</math>
이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.
:<math>\operatorname{Tor}^S_p(M\otimes_RS,N)\cong\operatorname{Tor}^R_p(M,N)</math>

=== 군 코호몰로지 ===
[[군 코호몰로지]]를 계산하는 '''린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열'''({{llang|en|Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence}})<ref name="Lyndon">{{저널 인용 | last1=Lyndon | first1=Roger C. | title=The cohomology theory of group extensions | year=1948 | journal=Duke Mathematical Journal | issn=0012-7094 | volume=15 | issue=1 | pages=271–292 | doi=10.1215/S0012-7094-48-01528-2|언어=en}}</ref><ref name="HS">{{저널 인용 | last1=Hochschild | first1=Gerhard | 저자링크=게르하르트 호흐실트 | last2=Serre | first2=Jean-Pierre | author2-link = 장피에르 세르 | title=Cohomology of group extensions |mr=0052438 | year=1953 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=74 | pages=110–134 | doi=10.1090/S0002-9947-1953-0052438-8  | issue=1 | jstor=1990851|언어=en}}</ref> 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

[[유한군]] <math>G</math>와 [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math> 및 <math>G</math>-[[군의 가군|가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.
:<math>\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G]}\xrightarrow{(-)^N}\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G/N]}\xrightarrow{(-)^{G/N}}\operatorname{Ab}</math>
여기서 <math>(-)^N</math>은 <math>N</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대한 불변 원소들로 구성된 [[부분 가군]]이다.
이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 '''린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열'''이라고 하며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname H^p(G/N;\operatorname H^q(N,M))\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(G;M)</math>
이에 대응하는 [[5항 완전열]]은 '''팽창-제한 완전열'''({{llang|en|inflation–restriction exact sequence}})이라고 하며, 다음과 같다.
:<math>0\to\operatorname H^1(G/N;M^N)\to\operatorname H^1(G;M)\to\operatorname H^1(N;M)^{G/N}\to\operatorname H^2(G/N;M^N)\to\operatorname H^2(G;M)</math>
여기서 "팽창"은
:<math>\operatorname H^\bullet(G/N;M)\to\operatorname H^\bullet(G/N;M)</math>
이며, "제한"은
:<math>\operatorname H^\bullet(G;M)\to\operatorname H^\bullet(N;M)^{G/M}</math>
이다.

== 역사 ==
1946년에 [[장 르레]]는 [[스펙트럼 열]]의 최초의 예로 [[층 코호몰로지]]를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.<ref name="Leray1">{{저널 인용 | last=Leray | first=Jean | 저자링크=장 르레 | title=L’anneau d’homologie d’une représentation | 날짜=1946 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des science | volume=222 | pages=1366–1368|zbl=0060.40801|언어=fr}}</ref><ref name="Leray2">{{저널 인용 | last=Leray | first=Jean | 저자링크=장 르레 | title=Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation | 날짜=1946 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des science | volume=222 | pages=1419–1422|zbl=0060.40802|언어=fr}}</ref> 1948년에 로저 코넌트 린던({{llang|en|Roger Conant Lyndon}})<ref name="Lyndon"/>은 [[군 코호몰로지]]를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 [[게르하르트 호흐실트]]와 [[장피에르 세르]]<ref name="HS"/>는 이를 개량하였다.
이후 1957년에 [[알렉산더 그로텐디크]]는 [[도호쿠 대학]] 저널 논문<ref>{{저널 인용 | last=Grothendieck | first=Alexandre | authorlink=알렉산더 그로텐디크 | title=Sur quelques points d’algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=東北数学雑誌 | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221 | doi = 10.2748/tmj/1178244839 | zbl = 0118.26104 | 언어=fr}}</ref>에서 [[아벨 범주]]의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 [[왼쪽 완전 함자]]에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Grothendieck spectral sequence}}
* {{nlab|id=base change spectral sequence|title=Base change spectral sequence}}
* {{nlab|id=Hochschild-Serre spectral sequence}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2010/03/11/the-grothendieck-spectral-sequence/|제목=The Grothendieck spectral sequence|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2010-03-11|언어=en|확인날짜=2016-01-21|보존url=https://web.archive.org/web/20140715164205/http://hilbertthm90.wordpress.com/2010/03/11/the-grothendieck-spectral-sequence/|보존날짜=2014-07-15|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/91785/derived-functors-versus-spectral-sequences|제목=Derived functors versus spectral sequences|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]