그로텐디크 군 문서 원본 보기

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[[K이론]]에서 '''그로텐디크 군'''(Grothendieck群, {{llang|en|Grothendieck group}})은 [[아벨 범주]] 또는 [[퀼런 완전 범주]]로부터 정의되며, 그 [[짧은 완전열]]들에 대한 정보를 담고 있는 [[아벨 군]]이다. [[대수적 K군|0차 대수적 K군]]과 같다.

== 정의 ==
=== 그로텐디크 군 ===
[[작은 범주|작은]] [[퀼런 완전 범주]] (예를 들어, 작은 [[아벨 범주]]) <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 [[짧은 완전열]]
:<math>A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C</math>
에 대하여, 형식적 관계
:<math>[A]+[C]=[B]</math>
를 정의하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 [[아벨 군]]을 <math>\mathcal A</math>의 '''그로텐디크 군'''이라고 하며, <math>\operatorname K(\mathcal A)</math>로 표기한다. (이 기호 <math>\operatorname K(-)</math>는 [[K이론]]에서 딴 것이다.)

=== “최소” 퀼런 완전 범주의 경우 ===
[[작은 범주|작은]] [[가법 범주]] <math>\mathcal A</math> 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 [[퀼런 완전 범주]] 구조를 주자.
:<math>A\to A\oplus B\to B</math>
(여기서 위의 두 사상은 [[곱 (범주론)|곱]] 및 [[쌍대곱]]의 [[보편 성질]]에 등장하는 것들이다. <math>\oplus</math>는 [[곱 (범주론)|곱]]=[[쌍대곱]]이다.) 이는 <math>\mathcal A</math> 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) [[퀼런 완전 범주]] 구조이다.

이 경우, <math>\mathcal A</math>의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

우선, 일반적으로, [[가환 모노이드]]의 범주 <math>\operatorname{CMon}</math>와 [[아벨 군]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ab}</math> 사이의 포함 함자
:<math>\operatorname{Ab}\to\operatorname{CMon}</math>
는 (둘 다 [[대수 구조 다양체]]이므로) [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다. 이 함자를
:<math>F\colon\operatorname{CMon}\to\operatorname{Ab}</math>
라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''함자 <math>F</math>의 구성''':
<div class="mw-collapsible-content">
[[가환 모노이드]] <math>(M,+)</math>의 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같다.
:<math>F(M)\cong\operatorname{Span}_{\mathbb Z}(M)/(\{1\cdot(m+n)-1\cdot m-1\cdot n\colon m,n\in M\})</math>
여기서
:<math>\operatorname{Span}_{\mathbb Z}(M)=\{k_1\cdot m_1+\cdots k_p\cdot m_p\colon p\in\mathbb N,\;k_i\in\mathbb Z,\;m_i\in M\}</math>
은 집합 <math>M</math>으로 생성된 [[자유 아벨 군]]이며, <math>(\{1\cdot(m+n)-1\cdot m-1\cdot n\colon m,n\in M\})</math>은 <math>1\cdot(m+n)-1\cdot m-1\cdot n</math> 꼴의 원소들로 생성된 [[아이디얼]]이다.

두 가환 모노이드 사이의 [[모노이드 준동형]] <math>f\colon M\to N</math>의 상은 다음과 같다.
:<math>F(f)\colon[1\cdot m]\mapsto[1\cdot f(m)]</math>
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''함자 <math>F</math>의 구성 (소거 가환 모노이드의 경우)''':
<div class="mw-collapsible-content">
[[소거 반군|소거]] [[가환 모노이드]]의 경우, 대신 다음과 같이 구성할 수 있다. 소거 가환 모노이드 <math>(M,+)</math>의 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같다.
:<math>F(M)\cong\left(\frac{M\times M}{\sim},+\right)</math>
:<math>(m,n)\sim (m+p,n+p)\qquad(m,n,p\in M)</math>
:<math>[(m,n)]_\sim+[(m',n')]_\sim=[(m+m',n+n')]_\sim</math>
여기서 순서쌍 <math>(m,n)</math>의 동치류는 보통 <math>m-n</math>으로 표기된다. 위 연산에서, <math>(m,n)</math>의 의 [[동치류]]의 역원은 <math>(n,m)</math>의 [[동치류]]이며, 덧셈 항등원은 (임의의 <math>m\in M</math>에 대하여) <math>(m,m)</math>의 [[동치류]]이다. 소거 법칙은 <math>M\times M</math> 위의 이항 관계 <math>\sim</math>이 [[추이적 관계]]임을 보일 때 사용한다.

두 소거 가환 모노이드 사이의 [[모노이드 준동형]] <math>f\colon M\to N</math>의 상은 다음과 같다.
:<math>F(f)\colon [(m,m')]_\sim\mapsto [(f(m),f(m')]_\sim</math>
</div></div>
그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 대상들의 ([[동형 사상]]에 대한) [[동치류]]들의 집합 <math>\operatorname{Iso}(\mathcal A)</math>을 생각하면, <math>(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)</math>는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 이 경우 <math>\mathcal A</math>의 그로텐디크 군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname K(\mathcal A)=F(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)</math>

간혹 일부 문헌에서는 함자 <math>F</math> 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

== 예 ==
=== 위상 K이론 ===
{{본문|위상 K이론}}
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 다발]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>를 생각하자. 이는 [[가법 범주]]이며, 그 대상(들의 동형류)들은 [[집합]]을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 [[퀼런 완전 범주]] 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 <math>X</math>의 '''<math>\mathbb K</math>-[[위상 K이론]]'''이라고 한다.

=== 가군 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{fgMod}_R</math>를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 <Math>\operatorname K(\operatorname{fgMod}_R)</math>를 취할 수 있다.

또한, [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]들의 [[가법 범주]] <math>\operatorname{fgpMod}_R</math>를 생각하자. 이는 [[아벨 범주]]가 아니지만, 최소 [[퀼런 완전 범주]] 구조를 부여하여 그로텐디크 군 <Math>\operatorname K(\operatorname{fgpMod}_R)</math>를 취할 수 있다.

또한, [[가환환]] <math>R</math> 위의 모든 [[단순군]]들의 [[동형류]]들은 [[집합]]을 이루며, 따라서 이로 생성되는 [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^{\oplus\operatorname{Iso}(\operatorname{simpleMod}_R)}</math>을 생각할 수 있다.

만약 <math>R</math>가  어떤 [[체 (수학)|체]] 위의 유한 차원 [[결합 대수]]라면, 위의 세 [[아벨 군]]은 서로 동형이다.
:<Math>\operatorname K(\operatorname{fgMod}_R)\cong \operatorname K(\operatorname{fgpMod}_R)\cong \mathbb Z^{\oplus\operatorname{Iso}(\operatorname{simpleMod}_R)}</math>

=== 유한 차원 벡터 공간 ===
[[체 (수학)|체]] <Math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]]들의 [[아벨 범주]] <Math>\operatorname{fgMod}_K</math>를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 [[자연수]]의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.
:<math>\dim_K\colon\operatorname{Iso}(\operatorname{fgMod}_K)\to \mathbb N</math>
:<math>\dim_K\colon K^{\oplus n}\mapsto n</math>
벡터 공간의 [[직합]]은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, <Math>\operatorname{fgMod}_K</math>의 그로텐디크 군은 [[무한 순환군]] <math>F(\mathbb N)=\mathbb Z</math>이다.

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가 [[K이론]]을 다루기 위하여 정의하였다.

== 같이 보기 ==
* [[분수체]]
* [[국소화 (환론)]]
* [[위상 K이론]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Grothendieck group}}
* {{nlab|id=group completion|title=Group completion}}
* {{nlab|id=Grothendieck group}}
* {{웹 인용|제목=Definition of a Grothendieck ring|url=http://mathoverflow.net/questions/74433/definition-of-a-grothendieck-ring|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:K이론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:추상대수학]]