그로텐디크-리만-로흐 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Grothendieck-Riemann-Roch.jpg|섬네일|오른쪽|[[알렉산더 그로텐디크]]가 그로텐디크-리만-로흐 정리에 대한 노트에 그린 낙서]]
[[대수기하학]]에서 '''그로텐디크-리만-로흐 정리'''(定理, {{llang|en|Grothendieck–Riemann–Roch theorem}})는 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]의 상대적인 일반화이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 두 개의 [[준사영 스킴|준사영]]({{llang|en|quasiprojective}}) [[매끄러운 스킴]] <math>X\to\operatorname{Spec}K</math> 및 <math>Y\to\operatorname{Spec}K</math>
* <math>K</math>-스킴의 [[고유 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>.
이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.
* <math>X</math> 또는 <math>Y</math> 위의 [[저우 환]] <math>\operatorname A(X)</math>, <math>\operatorname A(Y)</math>. 여기에 유리수 계수를 취하여 <math>\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q</math>를 정의할 수 있다.
** 저우 환 사이의 밂 사상 <math>f_*\colon\operatorname A(X)\to\operatorname A(Y)</math>. 이는 [[귀진 사상]]의 일종이며, 올에 대한 [[적분]]에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 [[귀진 사상]] <math>f_*\colon\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\to\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q</math>가 존재한다.
** [[토드 특성류]] <math>\operatorname{Td}(X)\in\operatorname A(X)\otimes\mathbb Q</math>, <math>\operatorname{Td}(Y)\in\operatorname A(Y)\otimes\mathbb Q</math>. 이는 <math>X</math>의 [[접다발]]의 [[천 특성류]] <math>\operatorname c(X)\in\operatorname A(X)</math>의 성분들의 유리수 계수 [[선형 결합]]이다.
** [[천 지표]] <math>\operatorname{ch}\colon\operatorname K_0(X) \to\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q</math>. ([[천 특성류]]는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
* <math>X</math> 또는 <math>Y</math> 위의 [[연접층]]들의 범주 <math>\operatorname{Coh}(X)</math>, <math>\operatorname{Coh}(Y)</math>
** <math>X</math> 위의 연접층의 <math>f</math>에 대한 상 <math>f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)</math>. 이는 [[왼쪽 완전 함자]]이다.
** <math>X</math> 위의 연접층의 <math>f</math>에 대한 상 <math>f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)</math>의 [[오른쪽 유도 함자]] <math>\operatorname R^\bullet f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)</math>.
* <math>X</math> 위의 연접층들의 [[그로텐디크 군]] <math>\operatorname K_0(X)</math>. 이는 [[K이론]]에서 0차 K군이다.
** 그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉, <math>\operatorname R^\bullet f_*\colon\operatorname K_0(X)\to\operatorname K_0(Y)</math>.
** 그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합 <math>f_!=\bigoplus_{i=0}^\infty(-1)^i\operatorname R^if_i\colon\operatorname  K_0(X)\to\operatorname K_0(Y)</math>를 정의할 수 있다.
정리하자면, 다음과 같은 사상이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
\operatorname K_0(X)&\xrightarrow{\operatorname{ch}}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow{.\operatorname{Td}(X)}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\\
{\scriptstyle f_!}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f_*}&&\downarrow{\scriptstyle f_*}\\
\operatorname K_0(Y)&\xrightarrow[\operatorname{ch}]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow[.\operatorname{Td}(Y)]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q
\end{matrix}
</math>
그렇다면, 이 그림이 가환하는지 여부를 물을 수 있다. 일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 '''그로텐디크-리만-로흐 정리'''라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}(f_!(-)).\operatorname{Td}(Y)=f_*(\operatorname{ch}(-).\operatorname{Td}(X))</math>

== 역사 ==
[[알렉산더 그로텐디크]]가 1956년 경 [[장피에르 세르]]에게 보낸 편지에서 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대하여 강의하였으나 출판하지 않았다. [[장피에르 세르]]와 [[아르망 보렐]]은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=아르망 보렐 | last2=Serre | first2=Jean-Pierre | author2-link=장피에르 세르 | title=Le théorème de Riemann–Roch (d’après des résultats inédits de A. Grothendieck) | mr=0116022 | zbl= 0091.33004 | 날짜=1958 | journal=Bulletin de la Société mathématique de France | volume=86 | pages=97–136 | issn=0037-9484 | url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__97_0 | 언어=fr }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Riemann-Roch theorem}}
* {{nlab|id=Grothendieck-Riemann-Roch theorem}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/63095/how-does-one-understand-grr-grothendieck-riemann-roch|제목=How does one understand GRR?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/43768/applications-of-grothendieck-riemann-roch|제목=Applications of Grothendieck-Riemann-Roch|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/23950/how-does-f-o-x-measure-ramification-and-grothendieck-riemann-roch|제목=How does <math>f_*\mathcal O_X</math> measure ramification and Grothendieck-Riemann-Roch|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[리만-로흐 정리]]
* [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]
* [[아티야-싱어 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:대수기하학 정리]]