그로모프-위튼 불변량 문서 원본 보기

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수학에서, '''그로모프-위튼 불변량'''(Громов-Witten不變量, {{llang|en|Gromov–Witten invariant}})은 주어진 [[심플렉틱 다양체]] 위의 정칙 곡선의 수를 헤아리는 불변량이다. [[위상 끈 이론]]의 A모형의 관측 가능량이다.

== 정의 ==
<math>(M,\omega)</math>이 <math>2d</math>차원 콤팩트 [[심플렉틱 다양체]]이며, <math>\alpha\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)</math>이 주어졌다고 하자.

=== 안정 사상의 모듈러스 공간 ===
<math>\mathcal M_{g,n}</math>이 <math>n</math>개의 점들이 주어진 종수 <math>g</math>의 [[리만 곡면]]의 [[모듈러스 스택]]이라고 하자. <math>M</math> 위에 심플렉틱 구조 <math>\omega</math>와 호환되는 임의의 [[개복소구조]] <math>J</math>를 주고, <math>\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)</math>가 [[안정 사상]]({{llang|en|stable map}}) <math>f\colon\Sigma_g\to M</math> 가운데, <math>f(\Sigma_g)\simeq\alpha</math>인 것들의 [[모듈라이 공간]]이라고 하자.

<math>\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)</math>의 차원은 다음과 같다.
:<math>\dim\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)=2 c_1^M(\alpha) + (2d - 6)(1 - g) + 2 n</math>

<math>\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)</math>의 점들은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(\Sigma,z_1,\dots,z_n,f)</math>
여기서 <math>\Sigma</math>는 종수 <math>g</math>의 리만 곡면이며, <math>z_1,\dots,z_n\in\Sigma</math>은 리만 곡면 위의 점들이며, <math>f\colon\Sigma\to M</math>은 <math>J</math>에 대하여 정칙 사상이다.

=== 그로모프-위튼 불변량 ===
다음과 같은 '''값매김 사상'''({{llang|en|evaluation map}})이 존재한다.
:<math>\operatorname{ev}\colon\mathcal M_{g,n}(M;\alpha)\to \mathcal M_{g,n}\times M^n</math>
:<math>\operatorname{ev}\colon(\Sigma,z_1,\dots,z_n,f)\mapsto(\Sigma,f(z_1),\dots,f(z_n))</math>
그렇다면 <math>M</math>의 '''그로모프-위튼 호몰로지류''' <math>\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}</math>은 <math>M</math>의 [[기본류]]의 값매김 사상에 대한 [[상 (수학)|상]]이다.
:<math>\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}=\operatorname{ev}([M])\in\operatorname H_{\dim\mathcal M_{g,n}(X,\alpha)}( \mathcal M_{g,n}\times M^n;\mathbb Q)</math>

임의의 호몰로지류
:<math>\beta\in\mathcal M_{g,n}</math>
:<math>\gamma_1,\dots,\gamma_n\in\operatorname H(M;\mathbb Z)</math>
에 대하여, '''그로모프-위튼 불변량'''은 다음과 같은 유리수이다.
:<math>\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}(\beta,\gamma_1,\dots,\gamma_n)=\operatorname{PD}(\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n})(\beta\times\gamma_1\times\cdots\times\gamma_n)\in\mathbb Q</math>
여기서 <math>\operatorname{PD}</math>는 [[푸앵카레 쌍대]]를 뜻한다.

그로모프-위튼 불변량 <math>\operatorname{GW}^{M,\alpha}_{g,n}(\beta,\gamma_1,\dots,\gamma_n)</math>은 정칙 사상 <math>f\colon\Sigma_g\to M</math> 가운데
* <math>f([\Sigma_g])\simeq \alpha</math>
* <math>\Sigma_g\in\beta</math>
* <math>f(z_i)\in\gamma_i</math>
인 것들의 수를 센다. 이는 가상적({{llang|en|virtual}}) 수이며, 따라서 음수이거나 유리수일 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2015-07-13|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}
* {{저널 인용|url=http://ckms.kms.or.kr/journal/view.html?multi%5B%5D=4798|저자=조용승|제목=심플렉틱 다양체의 불변량|저널=Communications of the Korean Mathematical Society|권=15|호=3|날짜=2000|쪽=391–434|issn=1225-1763|언어=ko|확인날짜=2015-07-13|보존url=https://web.archive.org/web/20150713090023/http://ckms.kms.or.kr/journal/view.html?multi%5B%5D=4798|보존날짜=2015-07-13|url-status=dead}}
* {{서적 인용|성=McDuff|이름=Dusa|성2=Salamon|이름2=Dietmar|날짜=2012|제목=<math>J</math>-holomorphic curves and symplectic topology|총서=American Mathematical Society colloquium publications|권=52|isbn=978-0-8218-8746-2|판=2|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=COLL-52-R|언어=en}}
* {{저널 인용 |last1=Fulton |first1=W. |first2=R. |last2=Pandharipande |arxiv=alg-geom/9608011 |title=Notes on stable maps and quantum cohomology |날짜=1996 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Gromov-Witten invariants}}
* {{웹 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2010_42/KN_2010_42_04.pdf|제목=거울대칭, 그리고 곡선 세기|저자=김범식|저널=과학의 지평|권=42|쪽=4–10|날짜=2010|언어=ko|확인날짜=2015-07-06|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304135829/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2010_42/KN_2010_42_04.pdf|url-status=}}
* {{웹 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2010_42/KN_2010_42_18.pdf|제목=Gromov-Witten 이론의 연구동향|저자=정대웅|저널=과학의 지평|권=42|쪽=18–18|날짜=2010|언어=ko|확인날짜=2015-07-06|archive-date=2015-07-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20150707101443/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2010_42/KN_2010_42_18.pdf|url-status=}}

== 같이 보기 ==
* [[양자 코호몰로지]]
* [[위상 끈 이론]]

[[분류:심플렉틱 위상수학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:끈 이론]]