균형 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]] 및 [[함수해석학]]에서, '''균형 집합'''(均衡集合, {{llang|en|balanced set}}) 또는 '''원형 집합'''(圓形集合, {{llang|en|circular set}}) 또는 '''[[원판]]'''({{llang|en|disk|디스크}})은 스스로의 임의의 “축소판”을 포함하는, [[실수 벡터 공간]] 또는 [[복소수 벡터 공간]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>B\subseteq V</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''균형 집합'''이라고 한다.
* 임의의 스칼라 <math>a\in K</math>에 대하여, 만약 <math>|a|\le1</math>이라면 <math>aB\subseteq B</math>
여기서
:<math>aB=\{ab\colon b\in B\}</math>
이다.

=== 균형 폐포와 균형핵 ===
<math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 임의의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 주어졌을 때, <math>S</math>를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 <math>S</math>의 '''균형 폐포'''({{llang|en|balanced hull}})라고 한다. 이는 <math>S</math>를 포함하는 모든 균형 집합의 [[교집합]]으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, <math>S</math>의 균형 폐포는
:<math>\bigcup_{a\in K}^{|a|\le1}aS</math>
이다.

마찬가지로, <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>의 임의의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 주어졌을 때, <math>S</math>에 포함되는 가장 큰 균형 집합이 존재하며, 이를 <math>S</math>의 '''균형핵'''({{llang|en|balanced core}})이라고 한다. 이는 <math>S</math>에 포함되는 모든 균형 집합의 [[합집합]]이며, 또한 다음과 같다.
:<math>\begin{cases}
\varnothing&0\not\in S\\
\bigcap_{a\in K}^{|a|\ge1}aS&0\in S
\end{cases}
</math>

== 성질 ==
균형 집합은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
* 균형 집합들의 [[합집합]]과 [[교집합]]은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 균형 집합이다.
* 균형 집합의 [[내부 (위상수학)|내부]]와 <math>\{0\}</math>의 합집합은 균형 집합이다.
* 균형 집합의 [[선형 변환]]에 대한 [[상 (수학)|상]]·[[원상 (수학)|원상]]은 균형 집합이다.

어떤 집합이 [[볼록 집합|볼록]]하고 균형이면 그 집합은 [[절대 볼록 집합]]이다.

<math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]에서, 0의 모든 [[근방]]은 균형 근방을 포함하며, 0의 모든 [[볼록 집합|볼록]] [[근방]]은 균형 볼록 근방을 포함한다. 즉, 임의의 <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]의 영벡터는 균형 집합들로 구성된 [[국소 기저]]를 가지며, 임의의 <math>K</math>-[[국소 볼록 공간]]의 영벡터는 균형 [[볼록 집합]]들로 구성된 [[국소 기저]]를 갖는다.
{{증명}}
<math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math> 및 [[근방]] <math>N\ni 0</math>이 주어졌다고 하자. 위상 벡터 공간의 정의에 따라, 스칼라배
:<math>K\times V\to V</math>
:<math>(a,v)\mapsto av</math>
는 [[연속 함수]]이며, 특히 <math>(0,0)</math>에서 연속이다. 따라서
:<math>\forall a\in K\colon |a|<\delta\implies aU\subseteq N</math>
인 <math>\delta>0</math> 및 [[근방]] <math>U\ni0</math>이 존재한다. 이 경우,
:<math>N'=\bigcup_{a\in K}^{|a|<\delta}aU\subseteq N</math>
은 0의 근방이며, 균형 집합이다.

이제, <math>N</math>이 [[볼록 집합]]이라고 추가로 가정하자. 임의의 <math>a\in K</math>, <math>|a|=1</math>에 대하여, <math>N'</math>이 균형 집합이므로
:<math>N'=aN'\subseteq aN</math>
이다. 따라서
:<math>N''=\bigcap_{a\in K}^{|a|=1}aN\subseteq N</math>
은 0의 근방이다. <math>N''</math>은 볼록 집합 <math>aN</math>들의 교집합이므로 볼록 집합이다. 이제 <math>N''</math>의 균형성을 보이는 일만 남았다. 사실, 임의의 <math>b\in K</math>, <math>|b|\le1</math>에 대하여,
:<math>bN''=\bigcap_{a\in K}^{|a|=1}baN=\bigcap_{a\in K}^{|a|=1}|b|aN\subseteq\bigcap_{a\in K}^{|a|=1}aN=N''</math>
이다 (<math>\subseteq</math>은 <math>aN</math>이 0을 원소로 하는 [[볼록 집합]]이므로, <math>|b|aN\subseteq aN</math>이기 때문이다).
{{증명 끝}}

== 예 ==
[[반노름 공간]] <math>(V,\nu)</math>에서, 0을 중심으로 하는 [[열린 공]]·[[닫힌 공]]
:<math>\{v\in V\colon\nu(v)<c\}</math>
:<math>\{v\in V\colon\nu(v)\le c\}</math>
은 균형 집합이다 (<math>c>0</math>).

[[실수 벡터 공간]] 또는 [[복소수 벡터 공간]]의 모든 부분 공간은 균형 집합이다.

<math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V_{i\in I}</math> (<math>i\in I</math>)들의 균형 집합 <math>B_i\subseteq V_i</math>들의 [[곱집합]] <math>\prod_{i\in I}B_i</math>은 벡터 공간들의 [[직접곱]] <math>\prod_{i\in I}V_i</math>에서 균형 집합이다.

[[복소수체]] <math>\Complex</math>를 1차원 [[복소수 벡터 공간]]으로 생각하자. 그 균형 집합은 정확히 다음과 같다.
* <math>\Complex</math> 자체
* [[공집합]]
* 0을 중심으로 하는 [[열린 원판]] <math>\{a\in\mathbb C\colon|a|<r\}</math>
* 0을 중심으로 하는 [[닫힌 원판]] <math>\{a\in\mathbb C\colon|a|\le r\}</math>
이와 달리, <math>\Complex</math>를 2차원 [[실수 벡터 공간]](즉, [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^2</math>)으로 여기면 더 많은 균형 집합이 존재하게 된다. 위의 집합들뿐 아니라, 원점을 중심으로 하는 모든 열린/닫힌 선분도 균형 집합을 이룬다. 따라서, <math>\Complex</math>와 <math>\R^2</math>의 벡터 공간 구조는 전적으로 다르다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis">{{서적 인용
|성1=Rudin
|이름1=Walter
|저자링크1=월터 루딘
|제목=Functional analysis
|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi
|언어=en
|판=2
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|출판사=McGraw-Hill
|위치=New York, NY
|날짜=1991
|isbn=
|mr=1157815
|zbl=0867.46001
}}</ref>{{rp|6, 1.4, Example}}

== 같이 보기 ==
* [[별모양 집합]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Robertson |first=A.P. |author2=W.J. Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | page=4 }}
* {{서적 인용 | author=H.H. Schaefer | title=Topological Vector Spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3 | date=1970 | isbn=0-387-05380-8 | page=11 }}

{{함수 해석학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]