균형군 문서 원본 보기

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[[위상군론]]에서, '''균형군'''(均衡群, {{llang|en|balanced group}})은 [[오른쪽 균등 공간 구조]]와 [[왼쪽 균등 공간 구조]]가 일치하는 [[위상군]]이다.

== 정의 ==
[[위상군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상군을 '''균형군'''이라고 한다.
* 항등원 <math>1_G\in G</math>는 켤레 불변 [[근방]](즉, <math>\forall g\in G\colon gUg^{-1}=U</math>인 근방 <math>U\ni1_G</math>)들로 구성된 [[국소 기저]]를 갖는다.
* <math>G</math>의 [[오른쪽 균등 공간 구조]]와 [[왼쪽 균등 공간 구조]]는 서로 일치한다.<ref name="Arhangel’skii">{{서적 인용
|성1=Arhangel’skii
|이름1=Alexander
|성2=Tkachenko
|이름2=Mikhail
|제목=Topological groups and related structures
|언어=en
|총서=Atlantis Studies in Mathematics
|권=1
|출판사=Atlantis Press
|위치=Paris
|날짜=2008
|isbn=978-90-78677-06-2
|mr=2433295
|zbl=1323.22001
}}</ref>{{rp|70, Theorem 1.8.8}}
* <math>G</math> 위에 [[오른쪽 균등 공간 구조]]를 주었을 때, 군의 곱셈 <math>\cdot\colon G\times G\to G</math>는 [[균등 연속 함수]]이다.<ref name="Arhangel’skii" />{{rp|79, Exercise 1.8.c}}
* <math>G</math> 위에 [[왼쪽 균등 공간 구조]]를 주었을 때, 군의 곱셈 <math>\cdot\colon G\times G\to G</math>는 [[균등 연속 함수]]이다.<ref name="Arhangel’skii" />{{rp|79, Exercise 1.8.c}}

== 성질 ==
균형군 <math>G</math>의 (그 균등 공간 구조에 대한) [[완비화 (균등 공간)|완비화]] 위에는 <math>G</math>의 위상군 구조를 확장하는 유일한 위상군 구조가 존재한다. 반면, 일반적인 위상군의 (2개의) 완비화는 위상군을 이룰 필요가 없다. 이는 [[아벨 군|아벨]] [[위상군]]의 완비화를 일반화한다. 또한 이는 임의의 위상군의 양쪽 완비화(즉, 오른쪽·왼쪽 균등 공간 구조의 [[상한]]에 대한 완비화)가 위상군을 이루는 것의 특수한 경우다.

[[유니모듈러 군]](=[[왼쪽 하르 측도]]와 [[오른쪽 하르 측도]]가 일치하는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]])에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 균형군이다.
* [[왼쪽 폰 노이만 대수]]에서, 모든 [[왼쪽 가역원]]은 [[오른쪽 가역원]]이다.<ref name="Godement">{{저널 인용
|성1=Godement
|이름1=Roger
|제목=Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires
|언어=en
|저널=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série
|권=30
|쪽=1–110
|날짜=1951
|issn=0021-7824
|mr=0041857
}}</ref>{{rp|46, Théorème 6}}

== 예 ==
모든 [[아벨 군|아벨]] [[위상군]]은 자명하게 균형군이다. [[하이네-칸토어 정리]]에 따라, 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 위상군은 균형군이다. 보다 일반적으로 모든 [[완전 유계 공간|완전 유계]] [[위상군]]은 균형군이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:위상군]]