균등 유계성 원리 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''균등 유계성 원리'''(均等有界性原理, {{llang|en|uniform boundedness principle}}) 또는 '''바나흐-스테인하우스 정리'''(Banach-Steinhaus定理, {{llang|en|Banach–Steinhaus theorem}})는 [[바나흐 공간]] 위의 일련의 [[유계 작용소]]들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 [[동치]]라는 정리이다.

== 정의 ==
실수 [[바나흐 공간]] <math>(V,\|\cdot\|_V)</math> 및 실수 [[노름 공간]] <math>(W,\|\cdot\|_W)</math> 사이에 일련의 [[유계 작용소]]들 <math>\mathcal T\subset B(V,W)</math>가 존재한다고 하자. 그렇다면, '''균등 유계성 원리'''에 따르면 다음 두 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* (점별 유계성) 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\sup_{T\in\mathcal T}\|Tv\|_W<\infty</math>
* (균등 유계성) <math>\sup_{T\in\mathcal T}\|T\|_{B(V,W)}<\infty</math>
여기서 <math>\|\cdot\|_{B(V,W)}</math>는 [[작용소 노름]]이다.

균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 [[따름정리]]를 쉽게 증명할 수 있다.
* [[바나흐 공간]] <math>V</math> 및 [[노름 공간]] <math>W</math> 사이의 [[유계 작용소]]들의 열 <math>T_1,T_2,\dots \colon V\to W</math>이 [[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>로 점별 수렴한다면, <math>T</math>는 [[유계 작용소]]이다.

== 증명 ==
바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 [[베르 범주 정리]]를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''[[베르 범주 정리]]를 사용한 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.
:<math>\forall v\in V\colon\quad\sup_{T\in\mathcal T}\|Tv\|_W<\infty</math>
모든 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여
:<math>V_n=\{v\in V|\sup_{T\in\mathcal T}\|Tv\|_W\le n\}</math>
를 정의하자. 이는 [[닫힌집합]]이다.
:<math>\bigcup_{n=1}^\infty V_n=V</math>
이므로, [[베르 범주 정리]]에 따라서 다음 조건을 만족시키는 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>v_0\in V_n</math>, <math>\epsilon\in\mathbb R^+</math>가 존재한다.
:<math>\{v\in V|\|v-v_0\|\le\epsilon\}\subset V_n</math>
그렇다면 임의의 <math>v\in V</math> (<math>\|v\|_V\le1</math>) 및 <math>T\in\mathcal T</math>에 대하여
:<math>\epsilon\|Tv\|_W =\left\|T(v_0+\epsilon v)-Tv_0\right\|_W\le\left(\| T(v_0+\epsilon v)\|_W +\| Tv_0\|_W\right)\le 2n</math>
이다. 따라서
:<math>\sup_{T \in\mathcal T} \|T\|_{B(X,Y)} \le 2n/\epsilon< \infty</math>
이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.
</div></div>

이 밖에도, [[앨런 소칼]]은 [[베르 범주 정리]]를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1005.1585|이름=Alan D.|성=Sokal|저자링크=앨런 소칼|제목=A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem|doi=10.4169/amer.math.monthly.118.05.450|저널=American Mathematical Monthly|권=118|쪽=450–452|날짜=2011|bibcode=2010arXiv1005.1585S|언어=en}}</ref>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''[[베르 범주 정리]]를 사용하지 않는 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.
:<math>\sup_{T\in\mathcal T}\|Tv\|_W=\infty</math>
그렇다면,
:<math>\|T_i\|\ge 4^i</math>
인 작용소 [[수열|열]] <math>(T_i)_{i=1}^\infty\subseteq\mathcal T</math>를 고를 수 있다. 이제,
:<math>v_0=0</math>
:<math>\|v_i-v_{i-1}\|\le 3^{-i}\qquad\forall i\in\mathbb Z^+</math>
:<math>\|T_iv_i\|\ge\frac233^{-i}\|T_i\|\qquad\forall i\in\mathbb Z^+</math>
인 벡터 열 <math>(v_i)_{i=0}^\infty\subset V</math>를 고르자. 이는 [[코시 열]]이므로, <math>v\in V</math>로 수렴한다. 그렇다면
:<math>\|v-v_i\|\le\frac123^{-n}</math>
이므로
:<math>\|T_iv\|\ge\frac163^{-i}\|T_i\|\ge\frac16(4/3)^i\to\infty</math>
이다. 따라서 <math>\mathcal T</math>는 점별 유계가 아니다.
</div></div>

== 역사 ==
[[스테판 바나흐]]와 [[후고 스테인하우스]]가 1927년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=Stefan|last=Banach|저자링크=스테판 바나흐|author2-first=Hugo|author2-last=Steinhaus|authorlink2=후고 스테인하우스| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918.pdf |title=Sur le principe de la condensation de singularités|journal=Fundamenta Mathematicae| volume=9| pages=50–61|날짜=1927|jfm=53.0243.02|언어=fr}}</ref> [[한스 한]] 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Hans|성=Hahn|저자링크=한스 한|제목=Über Folgen linearer Operationen|저널=Monatshefte für Mathematik und Physik|권=32|날짜=1922|쪽=3–88|doi=10.1007/BF01696876|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=UniformBoundednessPrinciple|title=Uniform boundedness principle}}
* {{매스월드|id=Banach-SteinhausTheorem|title=Banach-Steinhaus theorem}}
* {{eom|title=Banach-Steinhaus theorem}}
* {{eom|title=Uniform boundedness}}
* {{nlab|id=Banach-Steinhaus theorem}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Banach-Steinhaus_Theorem|제목=Banach-Steinhaus Theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:함수해석학 정리]]