균등 연속 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''균등 연속 함수'''(均等連續, {{llang|en|uniformly continuous map}})는 두 [[균등 공간]] 사이의, [[균등 공간]]의 구조와 호환되는 [[함수]]이다. 만약 [[균등 공간]]의 구조가 [[거리 함수]]로부터 유도된다면, 이는 임의의 반지름의 열린 공의 [[원상 (수학)|원상]]이 균등한 (위치에 의존하지 않는) 크기를 갖는 열린 공을 포함하는 함수이다. [[연속 함수]]의 조건은 국소적인데, 이를 대역적으로 강화시킨 조건이다.

== 정의 ==
균등 연속 함수의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.
* [[균등 공간]]은 일련의 [[측근 (수학)|측근]]들이 주어진 [[집합]]으로 정의할 수 있으며, 균등 연속 함수의 개념을 이를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우, 정의는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 [[연속 함수]]의 정의와 유사해진다.
* [[균등 공간]]은 일련의 [[유사 거리 함수]]들의 주어진 [[집합]]으로 정의할 수 있으며, 균등 연속 함수의 개념을 이를 사용하여 정의할 수 있다. 이 정의는 더욱 구체적이며, 특히 [[거리 공간]]의 경우 간단해진다.

=== 측근을 통한 정의 ===
두 [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>, <math>(Y,\mathcal F)</math> 사이의 '''균등 연속 함수'''는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.
* [[측근 (수학)|측근]]의 [[원상 (수학)|원상]]은 [[측근 (수학)|측근]]이다. 즉, 임의의 <math>F\in\mathcal F</math>에 대하여, <math>f^{-1}(F)\in\mathcal E</math>이다.
이는 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 [[연속 함수]]의 정의와 유사하다. 연속 함수는 [[열린집합]]의 [[원상 (수학)|원상]]이 [[열린집합]]인 [[함수]]이며, 균등 연속 함수는 [[측근 (수학)|측근]]의 [[원상 (수학)|원상]]이 [[측근 (수학)|측근]]인 함수이다.

=== 유사 거리 함수를 통한 정의 ===
집합 <math>X</math> 위에 [[유사 거리 함수]]들의 (유한 또는 무한) 집합 <math>\{d_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌으며, 이들이 유한 [[상한]]에 대하여 닫혀 있다고 하자. 즉, 다음이 성립한다고 하자.
:<math>\forall I'\subseteq I,\;|I'|<\aleph_0\exists\bar\imath\in I\colon d_{\bar\imath}=\max_{i\in I'}d_i</math>
그렇다면,
:<math>\mathcal B_X=\left\{B_{i,t}\colon i\in I,\;t\in\mathbb R^+\right\}</math>
:<math>B_{i,t}=d_i^{-1}([0,t])=\{(x,y)\in X^2\colon d_i(x,y)\le t\}</math>
는 <math>X</math> 위의 기본계를 구성하며 따라서 균등 구조를 정의한다. 또한, 모든 [[균등 공간]]은 위와 같이 [[유사 거리 함수]]들의 (유한 또는 무한) 족으로 나타낼 수 있다.

위와 같이, 유한 [[상한]]에 대하여 닫힌 [[유사 거리 함수]]들이 갖추어진 두 집합 <math>(X,\{d_i\}_{i\in I})</math> 및 <math>(Y,\{d_j\}_{j\in J})</math>이 주어졌다고 하고, 그 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 만약
* 임의의 <math>j\in J</math> 및
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는
* <math>i\in I</math> 및
* 양의 실수 <math>\delta>0</math>
가 존재한다면, <math>f</math>를 '''균등 연속 함수'''라고 한다.
* <math>X</math>의 임의의 두 점 <math>x, x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_i(x,x')<\delta</math>라면, 항상 <math>d_j(f(x),f(x'))<\epsilon</math>이다.

특히, [[거리 공간]]은 위 구성에서 단 하나의 [[유사 거리 함수]]만이 주어지며, [[유사 거리 함수]]가 [[거리 함수]]를 이루는 경우이다. 이 경우 위 정의는 더 간단해진다. 구체적으로, 두 [[거리 공간]] <math>(X, d_X)</math>, <math>(Y, d_Y)</math> 사이의 함수 <math>f\colon X \to Y</math>가 주어졌을 때, 만약 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 <math>\delta_\epsilon>0</math>이 존재한다면 <math>f</math>를 '''균등 연속 함수'''라고 한다.
* <math>X</math>의 임의의 두 점 <math>x, x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(x,x')<\delta_\epsilon</math>이라면 항상 <math>d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon</math>이다.
이는 [[연속 함수]]의 정의와 유사하나, 연속 함수의 정의에서 <math>\delta</math>는 <math>\epsilon</math> 및 <math>x</math>에 의존할 수 있는 반면 균등 연속 함수의 정의에서는 <math>\delta</math>는 <math>\epsilon</math>에만 의존하고, <math>x</math>에 의존할 수 없다.

== 성질 ==
두 [[균등 공간]] 사이의 모든 균등 연속 함수는 (균등 위상에 대하여) [[연속 함수]]이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 다음과 같은 부분적 역들이 성립한다.
* 정의역이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]]이며 공역이 [[거리 공간]]이라면 모든 연속 함수는 균등 연속 함수이다 ([[하이네-칸토어 정리]]).
* 두 [[위상군]] 사이의 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]은 (정의역과 공역 위의 왼쪽·오른쪽 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다.<ref name="Arhangel’skii" />{{rp|71, Proposition 1.8.12}}
* [[유사콤팩트]] [[위상군]] <math>G</math>에 대하여, 모든 연속 함수 <math>G\to\mathbb R</math>는 (왼쪽·오른쪽) 균등 연속 함수이다.<ref name="Arhangel’skii">{{서적 인용
|성1=Arhangel’skii
|이름1=Alexander
|성2=Tkachenko
|이름2=Mikhail
|제목=Topological groups and related structures
|언어=en
|총서=Atlantis Studies in Mathematics
|권=1
|출판사=Atlantis Press
|위치=Paris
|날짜=2008
|isbn=978-90-78677-06-2
|mr=2433295
|zbl=1323.22001
}}</ref>{{rp|376, Corollary 6.6.9}}

두 [[거리 공간]] 사이의 모든 [[립시츠 연속 함수]] 및 [[횔더 연속 함수]]는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의역이 [[구간]]인 경우, 모든 [[절대 연속 함수]]는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

두 균등 연속 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 균등 연속 함수이다.

== 예 ==
[[탄젠트 함수]] <math>\tan\colon(-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb R</math>는 [[연속 함수]]이지만, 균등 연속 함수가 아니다.

[[지수 함수]] <math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 [[연속 함수]]이지만, 균등 연속 함수가 아니다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Uniform continuity}}
* {{매스월드|id=UniformlyContinuous|title=Uniformly continuous}}
* {{nlab|id=uniformly continuous map|title=Uniformly continuous map}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Uniform_Continuity|제목=Definition: uniform continuity|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Uniformly_Continuous_Function_is_Continuous|제목=Uniformly continuous function is continuous|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:연속 함수]]
[[분류:미적분학]]