균등 수렴 위상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''균등 수렴 위상'''(均等收斂位相, {{llang|en|topology of uniform convergence}})은 [[일반위상수학]]적인 [[극한]]이 [[균등 수렴]]과 일치하게 하는, 함수 공간 위의 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 이 경우, [[공역]]에 [[위상 벡터 공간]] 또는 (보다 일반적으로) [[균등 공간]] 구조가 필요하다. 만약 [[공역]]에 [[거리 공간]]이나 [[노름 공간]]과 같은 구조가 주어지면, 이 위상 및 [[균등 공간]] 구조와 호환되는 '''균등 거리 함수'''({{llang|en|uniform metric}}) 및 '''균등 노름'''({{llang|en|uniform norm}})을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>X</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
그렇다면, 함수 집합 <math>Y^X</math> 위에 다음과 같은 기본계를 통해 [[균등 공간]] 구조를 부여할 수 있다.
:<math>\mathcal B=\left\{\{(f,g)\in\mathcal F^2\colon f(x)\approx_\epsilon g(x)\qquad\forall x\in X\}\colon \epsilon\in\mathcal E_Y\right\}</math>
이를 <math>Y^X</math> 위의 '''[[균등 수렴]] 균등 구조'''라고 하며, 이로부터 유도되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 '''균등 수렴 위상'''이라고 한다.<ref name="Bourbaki">{{서적 인용|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|제목=Topologie générale. Chapitres 5 à 10|총서=Éléments de mathématique|doi=10.1007/978-3-540-34486-5|출판사=Hermann|날짜=1974|언어=fr}}</ref>{{rp|TG X.2, Définition X.1.1}}

보다 일반적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>X</math>
* <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
그렇다면, 함수 집합 <math>Y^X</math> 위에 다음 조건을 만족시키는 가장 엉성한 [[균등 공간]] 구조를 부여할 수 있다.
* 임의의 <math>U\in\mathcal U</math>에 대하여, 제약 사상 <math>(-)|_U\colon Y^X\to Y^U</math>는 (<math>Y^U</math>에 균등 수렴 균등 구조를 부여할 때) [[균등 연속 함수]]이다.
이를 <math>Y^X</math> 위의 '''<math>\mathcal U</math>-[[균등 수렴]] 균등 구조'''라고 하며, 이로부터 유도되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 '''<math>\mathcal U</math>-균등 수렴 위상'''이라고 한다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|TG X.2, Définition X.1.2}}

만약 <math>\mathcal U</math>가 [[한원소 집합|한원소]] [[덮개 (위상수학)|덮개]]라면 <math>\mathcal U</math>-균등 수렴 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 같다. 만약 <math>\mathcal U</math>가 <math>X</math>의 [[유한 부분 집합]]들로 구성된 [[덮개 (위상수학)|덮개]]라면, <math>\mathcal U</math>-균등 수렴 균등 구조는 [[곱 균등 공간|곱 균등 구조]]이다. 만약 <math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, <math>\mathcal U</math>가 [[콤팩트 집합]]들로 구성된 [[덮개 (위상수학)|덮개]]라면, <math>\mathcal U</math>-균등 수렴 균등 구조는 모든 [[콤팩트 집합]] 위에서 균등 수렴을 수렴 조건으로 하는 균등 구조이다.

=== 균등 거리 함수 ===
'''확장 거리 함수'''({{llang|en|extended metric}})는 [[거리 함수]]와 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 <math>X\times X\to[0,\infty]</math>이다. 확장 거리 함수 <math>d</math>에 대하여 <math>d'(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}</math>는 [[거리 함수]]를 이루며, <math>d</math>와 <math>d'</math>은 같은 위상을 정의한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>X</math>
* [[거리 공간]] <math>(Y,d_Y)</math>
그렇다면, <math>Y^X</math> 위에 다음과 같은 확장 거리 함수를 부여할 수 있다.
:<math>d(f,g)=\sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))\in[0,\infty]</math>
이를 <math>Y^X</math> 위의 '''균등 수렴 확장 거리 함수'''({{llang|en|extended metric of uniform convergence}}) 또는 단순히 '''균등 거리 함수'''({{llang|en|uniform metric}})이라고 한다. 균등 수렴 확장 거리 함수가 유도하는 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 일치한다.

=== 균등 노름 ===
[[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''확장 노름'''({{llang|en|extended norm}})은 [[노름]]과 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 <math>V\to[0,\infty]</math>이다. (이때 <math>0\infty=0</math>으로 놓는다.)

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>X</math>
* [[노름 공간]] <math>(Y,\nu_Y)</math>

그렇다면, 함수 집합 <math>Y^X</math> 위에 다음과 같은 [[확장 노름]]을 부여할 수 있다.
:<math>\nu(f)=\sup_{x\in X}\nu_Y(f(x))\in[0,\infty]</math>
만약 이를 [[유계 함수]]의 집합
:<math>\left\{f\in Y^X\colon \sup_{x\in X}\nu_Y(f(x))<\infty\right\}</math>
으로 국한한다면, 이는 참된 [[노름]]을 정의한다. 이를 '''균등 노름'''({{llang|en|uniform norm}}) 또는 '''[[상한]] 노름'''({{llang|en|supremum norm}})이라고 한다. 균등 노름이 유도하는 거리 함수는 (확장 노름에 대응하는 확장 거리 함수에 대한) 균등 수렴 확장 거리 함수와 일치한다.

== 성질 ==
만약 <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>가 [[완비 균등 공간]]이라면, <math>Y^X</math> 위의 균등 수렴 균등 구조 역시 [[완비 균등 공간]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topology of uniform convergence}}
* {{매스월드|id=SupremumNorm|title=Supremum norm}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Supremum_Norm|제목=Definition: supremum norm}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:위상 벡터 공간]]