군 대상 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''군 대상'''(群對象, {{llang|en|group object}})은 [[곱 (범주론)|곱]]을 갖는 범주에서 정의되는, [[군 (수학)|군]]의 역할을 하는 대상이다. [[모노이드 대상]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
<math>\mathcal C</math>가 [[끝 대상]] 및 유한 [[곱 (범주론)|곱]]을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]라고 하자. (임의의 [[모노이드 범주]]에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 [[데카르트 모노이드 범주]]에서만 정의된다. 이는 일반적 [[모노이드 범주]]에서 [[대각 사상]] <math>X\to X\otimes X</math>이나 쌍대항등원 <math>X\to I</math>이 주어지지 않기 때문이다.) <math>\mathcal C</math>의 '''군 대상''' <math>(G,m,e,i)</math>는 다음 데이터로 이루어진다.
* <math>(G,m,e)</math>는 [[데카르트 모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\times)</math>의 [[모노이드 대상]]이다.
* <math>i\colon G\to G</math>는 <math>\mathcal C</math> 속의 [[사상 (범주론)|사상]]이다. 이는 [[군 (수학)|군]]의 [[역원]]에 해당한다.
이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.
* ([[역원]]의 존재) [[끝 대상]]의 정의에 따라 유일한 사상 <math>\epsilon_G\colon G\to1</math>이 존재한다. 또한, <math>\operatorname{diag}_G\colon G\to G\times G</math>가 [[대각 사상]]이라고 하자. 그렇다면 <math>m\circ(\operatorname{id}_G\times i)\circ\operatorname{diag}_G=m\circ(i\times\operatorname{id}_G)\circ\operatorname{diag}_G=e\circ\epsilon_G</math>이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.
:<math>\begin{matrix}
G&\xrightarrow{\operatorname{diag}}&G\times G&\xrightarrow{\operatorname{id}\times i}&G\times G&\xleftarrow{i\times\operatorname{id}}&G\times G&\xleftarrow{\operatorname{diag}}&G\\
&\searrow&&&\downarrow\scriptstyle m&&&\swarrow\\
&&1&\xrightarrow[e]{}&G&\xleftarrow[e]{}&1
\end{matrix}</math>

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. '''군 대상''' <math>G\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>는 임의의 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여 <math>\hom(X,G)</math>가 [[군 (수학)|군]]을 이뤄, <math>X\mapsto\hom(X,G)</math>가 <math>\mathcal C\to\operatorname{Grp}^{\operatorname{op}}</math> [[함자 (수학)|함자]]를 이루는 대상이다. 여기서 <math>\operatorname{Grp}</math>은 [[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.

== 예 ==
대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
{| class=wikitable
! 범주 !! 군 대상 !! 비고
|-
| [[집합]]과 [[함수]]의 범주 || [[군 (수학)|군]]
|-
|  [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 || [[위상군]]
|-
| [[매끄러운 다양체]]와 [[매끄러운 함수]]의 범주 || [[리 군]]
|-
| [[대수다양체]]와 대수다양체 사상의 범주 || [[대수군]]
|-
|  [[스킴 (수학)|스킴]]과 스킴 사상의 범주 || [[군 스킴]]({{lang|en|group scheme}})
|-
| [[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 ||  [[아벨 군]] || [[역원]] 사상 <math>g\mapsto g^{-1}</math>이 준동형을 이루는 군은 [[아벨 군]]이기 때문
|-
| [[모노이드]]와 모노이드 준동형의 범주 || [[아벨 군]]
|-
| [[아벨 군]]과 [[군 준동형]]의 범주 || [[아벨 군]]
|-
|  [[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> || [[교차 가군]]({{llang|en|crossed module}})<ref name="Mac Lane"/>{{rp|285–287}} ||  [[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> 속의 [[내적 범주]]와 같다.<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|269}}
|}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Serge|성=Lang|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|기타=Graduate Texts in Mathematics 211|판=3|위치=New York|출판사=Springer|ISBN=978-0-387-95385-4|url=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-95385-4|연도=2002}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=group object|title=Group object}}

== 같이 보기 ==
* [[내적 범주]]

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:군론]]