군환 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''군환'''(群環, {{llang|en|group ring|그룹링}})은 [[군 (수학)|군]]의 원소로 생성되는 자유 [[가군]]이다. 가군과 [[환 (수학)|환]]의 구조를 가진다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>G</math>와 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, <math>G</math>로부터 생성되는 <math>R</math>-[[자유 가군]]을 다음과 같이 표기하자.
:<math>R[G]=\left\{\sum_{g\in G}r_gg\qquad r\in R^G,\;|\{g\in G\colon r_g\ne0\}|<\aleph_0\}\right\}</math>

<math>\mathcal C</math>가 유한 개의 대상(및 유한 또는 무한 개의 사상)을 갖는 [[작은 범주]]이며, <math>R</math>가 [[환 (수학)|환]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal C</math>의 사상의 집합 <math>\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>으로부터 생성되는 <math>R</math>-[[자유 가군]] <math>R[\operatorname{Mor}(\mathcal C)]</math> 위에 다음과 같은 <math>R</math>-선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.
:<math>f\cdot g=\begin{cases}
g\circ f&\operatorname{dom}g=\operatorname{codom}f\\
0&\operatorname{dom}g\ne\operatorname{codom}f
\end{cases}</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>(r_1f_1+r_2f_2+\cdots+r_mf_m)\cdot(s_1g_1+s_2g_2+\cdots+s_ng_n)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nr_is_j(f_i\cdot g_j)\qquad\left(r_i,s_j\in R,\;f_i,g_j\in\operatorname{Mor}(\mathcal C)\right)</math>
이 곱셈은 [[결합 법칙]] 및 [[분배 법칙]]을 따르며, 항등원
:<math>1_{R[\mathcal C]}=\sum_{X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)}\operatorname{id}_X</math>
을 가진다. (만약 <math>\mathcal C</math>가 무한 개의 대상들을 갖는다면, 곱셈 항등원이 존재하지 않게 된다.) 따라서, 이는 [[환 (수학)|환]]을 이루며, 이를 <math>\mathcal C</math> 위의 '''범주환'''({{llang|en|category ring}}) <math>R[\mathcal C]</math>이라고 한다.

특히, 만약 <math>\mathcal C</math>가 하나의 대상만을 갖는다면, 이는 [[모노이드]]로 여길 수 있다. 이 경우 범주환을 '''모노이드 환'''({{llang|en|monoid ring}})이라고 한다. 만약 추가로 <math>\mathcal C</math>가 [[군 (수학)|군]]이라면, 이 경우 범주환을 '''군환'''이라고 한다.

== 성질 ==
모노이드 <math>M</math>에 대한 <math>R</math> 계수 모노이드 환은 자연스럽게 <math>(R,R)</math>-[[쌍가군]]의 구조를 가진다. 이는 왼쪽 [[자유 가군]]이자 오른쪽 [[자유 가군]]이다.

<math>R</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>k</math>일 경우, 군환 <math>k[G]</math>는 [[벡터 공간]]을 이룬다. 이 경우, <math>k[G]</math>의 차원은 <math>|G|</math>이다. (이는 <math>G</math>가 무한 반군일 경우에도 하멜 차원({{lang|en|Hamel dimension}})으로서 성립한다.)

=== 군의 가군 ===
군 <math>G</math> 위의 '''가군'''({{llang|en|''G''-module}})은 그 [[정수]] 계수의 군환 <math>\mathbb Z[G]</math>의 [[가군]]이다. 이는 [[군 표현]]을 일반화한 개념이며, [[군 코호몰로지]]에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 <math>(M,\rho)</math>는 [[아벨 군]] <math>M</math>과 [[군의 작용]] <math>\rho\colon G\times M\to M</math>으로 이루어져 있으며, <math>g\in G</math>, <math>a,b\in M</math>에 대하여 <math>g(a+b)=ga+gb</math>을 만족시킨다.

[[유한군]] <math>G</math>와 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌고, 또
:<math>\operatorname{char}K\nmid|G|</math>
라고 하자. (즉, <math>G</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]를 [[소인수]]로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 <math>K[G]</math>를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이므로 자명하게 [[왼쪽 아르틴 환]]이자 [[오른쪽 아르틴 환]]이다. '''마슈케 정리'''({{llang|en|Maschke’s theorem}})에 따르면, 군환 <math>K[G]</math>는 [[반단순환]]이다. 즉, 모든 왼쪽 또는 오른쪽 <math>K[G]</math>-가군은 [[반단순 가군]]이다.

이는 하인리히 마슈케({{llang|en|Heinrich Maschke}}, 1853~1908)가 증명하였다.<ref>{{저널 인용|last=Maschke |first=Heinrich |date=1898 |title=Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen |journal=Mathematische Annalen |volume=50 |issue=4 |pages=492–498 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002256975 |jfm=29.0114.03 | mr = 1511011 |doi=10.1007/BF01444297|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Maschke |first=Heinrich |date=1899 |title=Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind |journal=Mathematische Annalen |volume=52 |issue=2–3 |pages=363–368 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002257599 |jfm=30.0131.01 | mr = 1511061 |doi=10.1007/BF01476165 |언어=de}}</ref>

== 예 ==
=== 다항식환 ===
[[자연수]]의 덧셈 모노이드 <math>(\mathbb N,+)</math>를 생각하자. 이는 곱셈 표기법으로 <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots\}</math>로 적을 수 있다. 임의의 환 <math>R</math>에 대하여, 모노이드 환 <math>R[\mathbb N]</math>은 [[다항식환]] <math>R[x]</math>와 같다.

마찬가지로, [[무한 순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(\infty)=\{\dots,x^{-2},x^{-1},1,x,x^2,\dots\}</math> 위의 군환은 다음과 같다.
:<math>R[\operatorname{Cyc}(\infty)]\cong R[x,x^{-1}]=R[x,y]/(xy-1)</math>

마찬가지로, 유한 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(n)=\{1,x,x^2,\dots,x^{n-1}\}</math> 위의 군환은 다음과 같다.
:<math>R[\operatorname{Cyc}(n)]\cong R[x]/(x^n)</math>

=== 행렬환 ===
집합 <math>S</math>에 대하여, '''순서쌍 준군''' <math>\operatorname{Pair}(S)</math>는 다음과 같은 [[준군]]이다.
* 대상은 <math>S</math>의 원소이다. 즉, 대상 집합은 <math>S</math>이다.
* 임의의 두 대상 <math>s,t\in S</math>에 대하여 유일한 사상 <math>(s,t)\colon s\to t</math>이 존재한다. 따라서, 사상 집합은 [[순서쌍]]으로 구성된 [[곱집합]] <math>S\times S</math>로 생각할 수 있다.
만약 <math>S</math>가 크기 <math>n</math>의 [[유한 집합]]일 때, 임의의 환 <math>R</math>에 대하여 준군환 <math>R[\operatorname{Pair}(S)]</math>는 행렬환 <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>와 동형이다.

=== 함수환 ===
유한 집합 <math>S</math> 위의 이산 범주 (모든 사상이 [[항등 사상]]인 범주) 위의 범주환 <math>R[S]</math>는 <math>S</math> 위의 <math>R</math> 값의 함수들의 환 <math>R^S</math>이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Passman.pdf|제목=What is a group ring?|이름=D. S.|성=Passman|날짜=1976-03|쪽=173–185|저널=American Mathematical Monthly|zbl=0318.16002|jstor=2977018|doi=10.2307/2977018|언어=en|access-date=2016-04-03|archive-date=2016-08-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160806134831/http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Passman.pdf|url-status=}}
* {{서적 인용|이름=R.|성=Gilmer|제목=Commutative semigroup rings|url=https://archive.org/details/commutativesemig0000gilm|출판사=University of Chicago Press|날짜=1984|언어=en}}
* {{서적 인용|성1=Milies|이름1=César Polcino|성2=Sehgal|이름2=Sudarshan K.|제목=An introduction to group rings|총서=Algebras and applications|권=1|출판사=Springer|날짜=2002|isbn=978-1-4020-0238-0|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=D. S.|성=Passman|제목=The algebraic structure of group rings|출판사=Wiley|날짜=1977|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Group algebra}}
* {{매스월드|id=GroupAlgebra|title=Group algebra}}
* {{nlab|id=group algebra|title=Group algebra}}
* {{nlab|id=category algebra |title=Category algebra}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/index.php/%EA%B5%B0%ED%99%98|제목=군환|웹사이트=오메가|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.mathwiki.net/index.php/%EA%B5%B0%ED%99%98 }}

[[분류:군론]]
[[분류:환론]]
[[분류:표현론]]