군의 확대 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''군의 확대'''(群-擴大, {{llang|en|group extension}})는 [[군 (수학)|군]]을 [[정규 부분군]]과 [[몫군]]으로 나타내는 방법이다.

== 정의 ==
군의 범주에서, 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 있다고 하자.
:<math>1\rightarrow N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\rightarrow 1</math>
즉,
:<math>G/\iota(N)\cong Q</math>
이다. 그렇다면 <math>G</math>를 <math>N</math>에 의한 <math>Q</math>의 '''확대'''({{llang|en|extension of ''Q'' by ''N''}})라고 한다.

만약 <math>N</math>이 <math>G</math>의 [[군의 중심|중심]]의 부분군이라면, 즉
:<math>\iota(N)\subset Z(G)</math>
이라면 이를 '''중심 확대'''(中心擴大, {{llang|en|central extension}})라고 한다.

<math>N</math>의 <math>Q</math>로의 두 확대
:<math>1\to N\xrightarrow\iota G\xrightarrow\pi Q\to 1</math>
:<math>1\to N\xrightarrow{\iota'}G'\xrightarrow{\pi'}Q\to 1</math>
에 대하여, 만약 다음 그림
:<math>\begin{matrix}
1&\to& N&\xrightarrow\iota &G&\xrightarrow\pi &Q&\to&1\\
&&\|&&{\scriptstyle\phi}\downarrow\!{\wr}&&\|\\
1&\to& N&\xrightarrow[\iota']{}&G'&\xrightarrow[\pi']{}&Q&\to&1
\end{matrix}
</math>
을 가환하게 하는 군 동형 <math>\phi\colon G\to G'</math>이 존재한다면, <math>G</math>와 <math>G'</math>을 서로 '''동형인 확대'''라고 한다.

== 분류 ==
군의 확대들의 동형류들은 2차 [[군 코호몰로지]]에 의하여 분류된다.

=== 아벨 군의 범주 속에서의 확대 ===
<math>N</math>과 <math>Q</math>가 아벨 군이며, 확대된 군 <math>G</math> 역시 아벨 군이라고 하자. 이러한 군의 확대는 [[Ext 함자]]에 의하여 분류된다. 구체적으로, 이러한 [[아벨 군]]의 범주 속에서의 확대들의 동형류들은
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N)</math>
과 표준적으로 일대일 대응한다.

=== 아벨 정칙 부분군의 경우 ===
<math>N</math>이 아벨 군이라고 하자. 그렇다면, <math>N</math>의 <math>Q</math>에 대한 분류들은 다음과 같은 집합과 표준적으로 일대일 대응한다.
:<math>\bigsqcup_{\phi\in\hom(Q,\operatorname{Aut}N)}\operatorname H^2_\phi(Q,N)</math>
여기서 <math>\operatorname H^2_\phi(Q,N)</math>은 <math>N</math>을 작용 <math>\phi</math>를 갖춘 [[군의 가군|<math>Q</math>-가군]]으로 보았을 때의 2차 [[군 코호몰로지]]이다. 즉, 군의 확대 <math>N\to G\to Q</math>가 주어졌을 때, 자연스러운 준동형
:<math>\phi\colon Q\to\operatorname{Aut}N</math>
:<math>\phi\colon q\mapsto(n\mapsto qnq^{-1})</math>
이 유도되는데, 주어진 준동형 <math>\phi</math>에 대응하는 확대들은 2차 [[군 코호몰로지]] <math>\operatorname H^2_\phi(Q,N)</math>과 표준적으로 대응한다. 이는 [[반직접곱]] <math>N\rtimes_\phi Q</math>가 표준적인 밑점({{llang|en|basepoint}})을 제공하기 때문이다.

특히, <math>Q</math>의 [[아벨 군]] <math>N</math>에 대한 중심 확대는 자명한 작용 <math>q\cdot n=n\;\forall q\in Q,n\in N</math>에 대응하며, 중심 확대는 자명한 [[군의 가군|<math>Q</math>-가군]] 계수의 2차 [[군 코호몰로지]] <math>\operatorname H^2(Q,N)</math>와 표준적으로 [[일대일 대응]]한다.

=== 무중심 정칙 부분군의 경우 ===
<math>N</math>의 [[군의 중심|중심]]이 자명군일 경우, <math>N</math>의 <math>Q</math>에 대한 확대의 동형류들은 군 준동형
:<math>Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N</math>
과 일대일 대응한다.<ref name="Brown">{{서적 인용|성=Brown|이름=K.|제목=Cohomology of groups|연도=1982|url=https://archive.org/details/cohomologyofgrou0000brow_d6j8|언어=en}}</ref>{{rp|106, Corollary 6.8; Exercise 6.1}}
이는 가환 그림
:<math>\begin{matrix}
1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\
&&\| &&\downarrow\scriptstyle\phi^*&&\downarrow\scriptstyle\phi\\
1&\to&\operatorname{Inn}N&\hookrightarrow&\operatorname{Aut}N&\twoheadrightarrow&\operatorname{Out}N&\to&1
\end{matrix}
</math>
에서, <math>\phi^*\colon G\to\operatorname{Aut}N</math>이 <math>\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N</math>으로부터 완전히 결정되기 때문이다. 특히, <math>N</math>이 자명한 중심을 갖고, 또한 [[외부자기동형군]] 역시 자명하다면, <math>N</math>의 모든 확대는 [[직접곱]]이다. 이러한 조건을 만족시키는 군을 '''완비군'''(完備群, {{llang|en|complete group}})이라고 한다.

=== 외부 자기 동형을 갖지 않는 정칙 부분군의 경우 ===
만약 <math>\operatorname{Out}N</math>이 [[자명군]]이라면, 준동형 <math>Q\to\operatorname{Out}N</math>은 자명한 준동형밖에 없다. 이 경우, 모든 확대들은 2차 군 코호몰로지 <math>\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))</math>와 표준적으로 일대일 대응하며, <math>0\in\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))</math>은 [[직접곱]] <math>N\times Q</math>에 대응한다.

구체적으로,
:<math>\begin{matrix}
&&1&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname Z(N)&\hookrightarrow&\operatorname C_G(N)&\twoheadrightarrow&\operatorname C_G(N)/\operatorname Z(N)&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\!\wr\\
1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& Q&\to&1\\
&&\downarrow &&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Inn}N&\cong&\operatorname{Aut}N&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1
\end{matrix}
</math>
이므로, 짧은 완전열
:<math>1\to\operatorname Z(N)\to\operatorname C_G(N)\to Q\to1</math>
이 존재한다. <math>\operatorname Z(N)</math>이 아벨 군이며, <math>\operatorname Z(N)</math>의 <math>\operatorname C_G(N)</math>에 대한 작용은 자명하므로 가능한 <math>\operatorname C_G(N)</math>들은 <math>\operatorname H^2(Q,\operatorname Z(N))</math>과 표준적으로 일대일 대응하며, 주어진 <math>\operatorname C_G(N)</math>에 대하여 <math>G</math>는 [[짧은 완전열]]
:<math>1\to\operatorname C_G(N)\to G\to\operatorname{Aut}N\to1</math>
에서 유일하게 결정된다.

=== 일반적 정칙 부분군의 경우 ===
일반적인 <math>N</math>의 경우, 군의 확대의 동형류들은 여전히 2차 코호몰로지와 일대일 대응하지만, 밑점({{llang|en|basepoint}})이 유일하지 않으므로 이 대응은 더 이상 표준적이지 않다.

구체적으로, 확대
:<math>1\to N\to G\to Q\to1</math>
가 주어졌을 때, 표준적인 군 준동형
:<math>Q\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N</math>
이 존재한다. 임의의 준동형 <math>\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Brown"/>{{rp|105, Theorem 6.7}}
* <math>\phi</math>를 유도하는 군의 확대 <math>G</math>가 존재한다.
* 어떤 특정한 <math>\theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)\in \operatorname H^3_\phi(Q,\operatorname Z(N))</math>에 대하여, <math>\theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)=0</math>이다.
즉, <math>\phi</math>를 통한 확대의 존재에 대한 걸림돌은 3차 군 코호몰로지의 특정 원소이다.

만약 위 조건이 성립한다면, <math>\phi</math>를 통한 임의의 두 확대 <math>G,G'</math>에 대하여, 둘의 "차이"를 표준적으로 <math>\operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))</math>과 일대일 대응시킬 수 있다.<ref name="Brown"/>{{rp|105, Theorem 6.6}} 즉, <math>\phi</math>를 통한 확대들은 <math>\operatorname H^2_\phi(G,\operatorname Z(N))</math>과 일대일 대응하지만, 이 대응은 표준적이지 않다. 다만, <math>\phi</math>가 자명한 작용일 경우, 자명한 확대 <math>G=N\times Q</math>를 밑점으로 삼으면 표준적인 일대일 대응을 얻는다.

구체적으로, 이 걸림돌 <math>\theta(Q,\operatorname Z(N),\phi)</math>는 다음과 같다.<ref name="Brown"/>{{rp|105, Theorem 6.7}} [[완전열]]
:<math>1\to\operatorname Z(N)\to N\to\operatorname{Aut} N\to\operatorname{Out}N\to1</math>
에 의하여, 원소
:<math>u\in\operatorname H^3(\operatorname{Out}N,\operatorname Z(N))</math>
가 주어진다. 또한, 군 준동형 <math>\phi\colon Q\to\operatorname{Out}N</math>에 의하여, 코호몰로지 군 사이의 준동형
:<math>\phi^*\colon\operatorname H^\bullet(\operatorname{Out},\operatorname Z(N))\to\operatorname H^\bullet(Q,\operatorname Z(N))</math>
이 주어진다. 그렇다면
:<math>\theta=\phi^*u</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[군 코호몰로지]]
* [[Ext 함자]]
* [[반직접곱]]
* [[짧은 완전열]]
* [[체의 확대]]

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=R.|성=Brown |공저자= T. Porter |제목= On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations|저널=Proceedings of the Royal Irish Academy|권=96A|날짜=1996|쪽=213-227|url=http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/pdffiles/NONABEX5.pdf|jstor=20490219}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Extension of a group}}
* {{매스월드|id=GroupExtension|title=Group extension}}
* {{nlab|id=group extension|title=Group extension}}
* {{nlab|id=central charge|title=Central charge}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_extension|제목=Group extension|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_extension_problem|제목=Group extension problem|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

[[분류:군론]]