군의 표현 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{구별|군의 표시}}

'''군의 표현'''(表現, {{llang|en|representation}})은 [[군론]]에서, [[군 (수학)|군]]을 [[벡터 공간]]의 [[일반선형군]]의 부분군으로 나타내는 [[군 준동형]]이다. 이를 사용하여, [[군론]]의 문제를 [[선형대수학]]적 기법으로 다룰 수 있다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] ''G''의 [[체 (수학)|체]] ''K'' 상의 [[벡터 공간]] ''V''에 대한 '''표현'''은 ''G''에서 [[일반선형군]] GL(''V'') 로의 [[군 준동형]]을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 [[사상 (수학)|사상]]
:<math>D \colon G \to \mathop{GL}(V)</math>
로서 ''G''의 임의의 원소 ''g''<sub>1</sub> 와 ''g''<sub>2</sub> 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.
#<math> D(e) = 1</math>
#<math> D(g_1 g_2) = D (g_1) D (g_2)</math>
여기서, ''e''는 ''G''의 항등원, 1 은 GL(''V'')의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.

만약 표현이 [[단사 함수]]라면, '''충실한 표현'''(忠實한表現, {{llang|en|faithful representation}})이라고 한다.

표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 [[벡터 공간]] ''V''를 '''표현 공간'''({{llang|en|representation space}})이라 하고, ''V''의 ([[벡터 공간]]으로서의) 차원을 이 표현의 '''차원'''({{lang|en|dimension}}) 이라고 한다. [[언어의 남용|기호의 남용]]으로서, ''G''에서 GL(''V'') 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 ''V''를 ''G''의 표현이라 부르기도 한다.

''V'' 가 유한한 차원 ''n'' 일 때에는 ''n'' 을 '''차수'''({{lang|en|degree}})라 부르기도 한다. 이 때에는,  ''V''의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 GL(''V'')를 ''K'' 상의 ''n''×''n'' [[가역행렬]]들의 군 GL(''n'', ''K'') 와 동일시하는 것이 일반적이다.

''G'' 가 [[위상군]]이고 ''V'' 가 [[위상 벡터 공간]]일 경우, ''G''의 ''V''에 대한 표현 ''D'' 가 '''연속 표현'''(連續表現, {{llang|en|continuous representation}})이라는 것은
:<math>\begin{array}{lll}
\Phi: & G\times V & \to V
     \\ & (g,v)     & \mapsto D(g)v
\end{array}</math>
로 정의된 함수 &Phi; 가 [[연속 함수]]인 경우를 말한다.

== 동등한 표현 ==
두 표현 ''D''<sub>1</sub> : ''G'' &rarr; GL(''V''<sub>1</sub>) 와 ''D''<sub>2</sub> : ''G'' &rarr; GL(''V''<sub>2</sub>) 가 동등하다는 것은 [[벡터 공간]] ''V''<sub>1</sub> 와 ''V''<sub>2</sub> 사이에 [[동형 사상]] ''A'' : ''V''<sub>1</sub> &rarr; ''V''<sub>2</sub> 가 있어, ''G''의 모든 원소 ''g''에 대해
:<math>D_2 (g) A = A D_1 (g) \;</math>
를 만족하는 것을 말한다. 만약 두 표현의 표현 공간이 같은 경우, 위는 간단히
:<math>D_2 (g) = A D_1 (g) A^{-1} \; </math>
로 쓸 수 있다. 여기서 연산자 ''A''를 '''엮음 연산자'''({{llang|en|intertwining operator}})라 하기도 한다.

== 불변 부분 공간과 기약 표현 ==
{{본문|기약 표현}}

[[벡터 공간]] ''V''의 부분 공간 ''W'' 가 군 ''G''의 [[작용]]에 대해 '''불변'''(不變, {{llang|en|invariant}})이라는 것은 부분 공간 위의 임의의 벡터에 어떠한 ''D''(''g'')를 작용시켜도 벡터가 부분 공간 위에 남아있는 부분 공간을 말한다. 즉, ''G''의 모든 원소 ''g''에 대해
:<math> D(g) W \subseteq W</math>
이 성립하면 ''W''를 '''불변부분공간'''(不變部分空間, {{lang|en|invariant subspace}})이라 한다.

'''약분 가능 표현'''({{llang|en|reducible representation}})은 불변 부분 공간이 존재하는 표현이다. 약분 가능 표현이 아닌 표현은 '''[[기약 표현]]'''이라고 한다.

== 응용 ==
군 표현론은 [[물리학]]에서 물리적 계의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 널리 응용된다. 특히, [[양자역학]]에서, 상태공간인 [[힐베르트 공간]]은 계의 대칭군의 표현을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[슈어 보조정리]]
* [[슈어 직교정리]]
* [[군 표현의 지표]]
* [[리 대수의 표현]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=有限群의 表現論|저자=박승안|출판사=경문사|날짜=2004-03|isbn=10-8972827053|url=http://bbs.freechal.com/ComService/Activity/bbs/CsBBSContent.asp?GrpId=859147&ObjSeq=1&PageNo=3&DocId=129367678}}{{깨진 링크|url=http://bbs.freechal.com/ComService/Activity/bbs/CsBBSContent.asp?GrpId=859147&ObjSeq=1&PageNo=3&DocId=129367678 }}
* {{서적 인용|저자=계승혁|제목=군과 조화해석|날짜=1998-04|기타=대우학술총서 자연과학 120|출판사=민음사|isbn=10-8937436205|url=http://www.math.snu.ac.kr/~kye/book/group-har.html}}
* {{서적 인용|저자=양재현|제목=Lie 군의 표현론|출판사=민음사|날짜=1998-11|isbn=10-8937436205}}
* {{서적 인용|제목=Representation Theory: A First Course|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=129|성=Fulton|이름=William|이름2=Joe|성2=Harris|출판사=Springer|isbn=978-0-387-97495-8|연도=1991|doi=10.1007/978-1-4612-0979-9|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Group representation theory for physicists|판=2|이름=Jin-Quan|성=Chen|이름2=Jialun|성2=Ping|이름3=Fan|성3=Wang|위치=Singapore|출판사=World Scientific|isbn=978-981-238-065-4|날짜=2002-08|url=http://worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/5019|언어=en|access-date=2013-01-14|archive-date=2021-04-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20210427113525/https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/5019|url-status=}}
** [[응집물질물리학]]에 대한 응용.
* {{서적 인용|제목=Lie algebras in particle physics: From isospin to unified theories|이름=Howard|성=Georgi|저자링크=하워드 조자이|위치=Boulder, Colorado|출판사=Westview Press|기타=Frontiers in Physics|isbn=9780738202334|날짜=1999-10|url=http://westviewpress.com/book.php?isbn=9780738202334|access-date=2013-01-14|archive-date=2013-08-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20130823031224/http://www.westviewpress.com/book.php?isbn=9780738202334|url-status=}}
** [[입자물리학]]에 대한 응용.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Representation of a group}}
* {{매스월드|id=GroupRepresentation|title=Group representation|저자=Todd Rowland}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]
[[분류:표현론]]