군의 표시 문서 원본 보기

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[[군론]]에서, 군의 '''표시'''(表示, {{llang|en|presentation}})는 주어진 군을 생성원과 이들 사이의 관계식들을 통해 구체적으로 적는 방법이다.

== 정의 ==
'''표시'''는 다음과 같은 순서쌍 <math>\langle S|R\rangle</math>이다.
* <math>S</math>는 집합이다.
* <math>R\subset\operatorname{Free}(S)</math>는 <math>S</math> 및 <math>^{-1}</math>로 구성되는 유한 문자열들의 집합이다.
이 순서쌍에 의하여 표시되는 군은 다음과 같다.
:<math>\langle S|R\rangle=\operatorname{Free}(S)/\operatorname{Free}(S)^{-1}R\operatorname{Free}(S)</math>
여기서
* <math>\operatorname{Free}(S)</math>는 <math>S</math>로부터 생성되는 [[자유군]]이다.
* <math>\operatorname{Free}(S)^{-1}R\operatorname{Free}(S)</math>는 <math>R</math>를 포함하는 <math>\operatorname{Free}(S)</math>의 최소의 [[정규 부분군]]이다. 이는 <math>R</math>와 <math>R^{-1}</math>의 [[켤레류|켤레 원소]]들의 유한 곱들로 구성된다.

== 성질 ==
표시된 두 군 <math>\langle S|R\rangle</math>, <math>\langle T|Q\rangle</math>의 [[자유곱]]은 다음과 같다.
:<math>\langle S|R\rangle*\langle T|Q\rangle=\langle S\cup T|R\cup Q\rangle</math>
표시된 두 군 <math>\langle S|R\rangle</math>, <math>\langle T|Q\rangle</math>의 [[직접곱]]은 다음과 같다.
:<math>\langle S|R\rangle\times\langle T|Q\rangle=\langle S\cup T|R\cup Q\cup\{rqr^{-1}q^{-1}\colon r\in R,\;q\in Q\}\rangle</math>

== 예 ==
대표적인 군들의 표시는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 군 !! 표시 !! 비고
|-
! [[자명군]]
| <math>\langle|\rangle</math>
|-
! [[자유군]]
| <math>\langle S|\rangle</math>
| 집합 <math>S</math>에 대하여, <math>S</math>로부터 생성되는 [[자유군]]
|-
! [[자유 아벨 군]]
| <math>\langle S|\{aba^{-1}b^{-1}\colon a,b\in S\}\rangle</math>
| 계수가 <math>|S|</math>인 [[자유 아벨 군]]
|-
! [[순환군]] <math>Z_n</math>
| <math>\langle a|a^n\rangle</math>
|-
! [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>
| <math>\langle\sigma_1,\dots,\sigma_n|\sigma_i^2,\;\sigma_i\sigma_j\sigma_i^{-1}\sigma_j^{-1}\;(j \ne i\pm 1),\;(\sigma_i\sigma_{i+1})^3\rangle</math>
|-
! [[정사면체군]]
| <math>\langle s,t|s^2, t^3, (st)^3 \rangle</math>
|-
! [[정팔면체군]]
| <math>\langle s,t|s^2, t^3, (st)^4 \rangle</math>
|-
! [[정이십면체군]]
| <math>\langle s,t|s^2, t^3, (st)^5 \rangle</math>
|-
! [[사원수군]]
| <math>\langle i,j|jiji^{-i}, ijij^{-1}\rangle</math>
|}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Presentation}}
* {{매스월드|id=GroupPresentation|title=Group presentation}}
* {{nlab|id=group presentation|제목=Group presentation}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Presentation_of_a_group|제목=Presentation of a group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

[[분류:군론]]