군론 문서 원본 보기

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[[파일:Rubik's cube.svg|섬네일|유명한 퍼즐인 [[루빅스 큐브]]는 [[순열군]] 개념을 이용해 해결할 수 있다.]]
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[[수학]]에서 '''군론'''(群論, {{llang|en|group theory}})은 [[군 (수학)|군]]에 대해 연구하는 [[추상대수학]]의 한 분야이다. 군은 추상대수학에서 중요하게 다루는 [[대수 구조]]로, 군에 특정 [[연산]]이나 [[공리]]를 추가하면 [[환]], [[체]], 또는 [[벡터 공간]]이 된다. 군은 수학의 여러 분야에서 사용되며, 군론에서 사용하는 방법들은 [[대수학]]의 여러 분야에 영향을 주었다.

[[결정]]이나 [[수소 원자]], [[표준 모형]]에서의 세 가지 기본 상호작용과 같은 다양한 물리계를 군론에서 [[대칭군 (군론)|대칭군]]을 이용해 연구할 수 있다. 따라서 군론, 그리고 이와 밀접하게 연관된 [[표현론 (수학)|표현론]]은 [[물리학]]과 [[화학]], [[재료과학]], [[공개 키 암호 방식]] 등의 응용 분야에서 중요하게 쓰인다.

군론은 약 19세기쯤부터 연구되었다. 20세기에는 1만 페이지 이상의 저널 논문에 걸쳐 [[유한 단순군]]의 분류에 대한 증명을 완성했는데, 이는 20세기의 가장 위대한 수학 업적 중 하나로 꼽힌다.<ref>{{인용|last=Elwes|first=Richard|url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|title=An enormous theorem: the classification of finite simple groups|journal=Plus Magazine|issue=41|date=December 2006|access-date=2024-03-09|archive-date=2009-02-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20090202092008/http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|url-status=dead}}</ref>

== 발전 배경 ==
18세기까지 [[4차 방정식]]까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만([[지롤라모 카르다노|카르다노]], 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 [[갈루아]](Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. [[갈루아 이론]]으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.

== 군의 종류 ==
유한 [[순열군]]과 [[일반선형군]], 그리고 생성원과 관계식으로 [[군의 표시|표현]]되는 추상군까지 다양한 종류의 군들이 연구되었다.

=== 순열군 ===
가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 [[순열군]]이다. 임의의 집합 ''X''와, ''X''에서 ''X''로 가는 [[전단사 함수]]들의 모임 ''G''가 주어졌을 때(이때 ''G''는 함수들의 합성에 대해 닫혀 있어야 하고 임의의 함수에 대해 역함수가 존재해야 한다.), ''G''는 ''X''에 [[군의 작용|작용]]하는 군이 된다. 만약 ''X''가 ''n''개의 원소로 이루어져 있고 ''G''는 ''X''에서 ''X''로 가는 모든 전단사 함수들, 즉 ''n''에 대한 모든 순열을 포함할 때, ''G''는 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이 되며 이를 ''S<sub>n</sub>''이라 쓴다. 일반적으로 임의의 순열군 ''G''는 ''X''에 대한 대칭군의 [[부분군]]이다. [[케일리의 정리]]에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉 ''X''=''G''인) 왼쪽 정칙표현으로 나타냈다.

=== 일반선형군 ===
몇몇 군은 [[일반선형군]]에 속한다. 일반선형군 ''G''는 [[체 (수학)|체]] ''K'' 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 ''n''×''n'' 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 ''n''차원 벡터 공간 ''K''<sup>''n''</sup>에 대해 [[선형 변환]]으로서 작용한다.

=== 변환군 ===
변환군이란 어떤 공간 ''X''에 작용했을 때 그 고유 구조를 보존하는 군이다. 순열군과 일반선형군은 변환군의 특수한 예로, 순열군의 경우 ''X''는 집합, 일반선형군의 경우 ''X''는 [[벡터 공간]]이다.
변환군은 [[미분기하학]]에도 적용되는데, [[다양체]]에의 군의 작용을 [[위상동형사상]]이나 [[미분동형사상]]으로 볼 수 있다. 이때 군은 [[이산 공간|이산적]]일 수도, [[연속 함수|연속적]]일 수도 있다.

=== 추상군 ===
군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수나 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 [[동형]]인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 ''생성원''과 ''관계식''을 이용해 [[군의 표시|표현]]된다.
: <math> G = \langle S|R\rangle. </math>
많은 종류의 추상군은 [[몫군]]으로부터 구성된다. 군 ''H''가 군 ''G''의 [[정규 부분군]]일 때, ''H''의 [[잉여류]]들이 이루는 군을 몫군이라 하며 ''G/H''로 쓴다. [[대수적 수체]]가 몫군의 대표적인 예시이며, [[정수론]]에서 주요하게 쓰인다.

=== 기타 군의 종류 ===
* [[아벨 군]]
* [[리 군]]
** [[로런츠 군]]
* [[공간군]]
* [[갈루아 군]]

== 같이 보기 ==
* [[군 (수학)]]
* [[환론]]
* [[체론]]
* [[벡터 공간]]

{{수학 분야}}
{{전거 통제}}
{{위키공용분류}}

{{토막글|수학}}

[[분류:군론]]