국소환 문서 원본 보기

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'''국소환'''(局所環, {{llang|en|local ring}})은 [[수학]]의 [[추상대수학]] 등에서 비교적 간단한 성질을 갖는 [[환 (수학)|환]]의 일종으로, 기하학적으로 국소적인 정보를 담고 있다. '''국소대수학'''({{llang|en|local algebra}})은 [[가환환|가환]] 국소환과 그 위의 [[가군]]을 다루는 [[가환대수학]]의 세부 분야이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 성질들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''국소환'''이라 한다.
* [[극대 왼쪽 아이디얼]]이 유일하게 존재한다.
* [[극대 오른쪽 아이디얼]]이 유일하게 존재한다.
* [[자명환]]이 아니며, 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, <math>r</math>와 <math>s</math> 둘 다 [[가역원]]이 아니라면 <math>r+s</math> 또한 [[가역원]]이 아니다.
* [[자명환]]이 아니며, 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대해 <math>r</math>가 [[가역원]]이거나, 아니면 <math>1-r</math>가 가역원이다. (즉, <math>R\setminus R^\times</math>는 [[양쪽 아이디얼]]을 이룬다.)
* 유한 개의 원소의 합이 [[가역원]]이면 그 합의 항들 중에 [[가역원]]이 있다. (이 경우 0개의 원소들의 합은 0이며, 따라서 0은 [[가역원]]이 아니며, 특히 1≠0이다.)
위의 성질들이 성립하면 유일한 [[극대 왼쪽 아이디얼]]과 [[극대 오른쪽 아이디얼]] 및 [[제이컵슨 근기]]가 전부 일치한다.

[[가환환]]에서는 좌우의 구분이 없으므로, 가환환이 국소환일 필요충분조건은 [[극대 아이디얼]]이 유일하게 존재하는 것이다.

일부 저자들은 국소환을 정의할 때 (왼쪽과 오른쪽 모두) [[뇌터 환]]이어야 한다는 조건을 추가하고, 이 조건을 만족하지 않는 경우에 대해서는 “유사 국소환”이라 부르기도 한다. 이 글에서는 이를 적용시키지 않는다.

=== 국소환 준동형 ===
두 국소환 <math>(R,\mathfrak m)</math>, <math>(R',\mathfrak m')</math> 사이의 '''국소환 준동형'''({{llang|en|local homomorphism}}) <math>f\colon(R,\mathfrak m)\to(R',\mathfrak m')</math>은 다음과 같은 [[함수]]이다.
* <math>f\colon R\to R'</math>은 [[환 준동형]]이다.
* <math>f(\mathfrak m)\subset\mathfrak m'</math>이다.
국소환들과 국소환 준동형들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이룬다.

== 성질 ==
(비가환일 수 있는) 국소환 <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여, [[몫환]] <math>R/\mathfrak m</math>은 항상 [[나눗셈환]]이다. 만약 <math>R</math>가 추가로 [[가환환]]이라면, [[몫환]] <math>R/\mathfrak m</math>은 [[체 (수학)|체]]이다.

국소환은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.
* 국소환의 [[몫환]]은 국소환이다.
* 가환 국소환의 (유일한 [[극대 아이디얼]]에 대한) [[완비화 (환론)|완비화]]는 국소환이다.

=== 가군 ===
임의의 (비가환일 수 있는) 국소환 <math>R</math> 위의 ([[유한 생성 가군]]이 아닐 수 있는) [[사영 가군]]은 항상 [[자유 가군]]이다. 이는 [[어빙 커플랜스키]]가 증명하였다.

=== 표수 ===
가환 국소환의 [[환의 표수|표수]]는 0이거나 (1이 아닌) [[소수 (수론)|소수]]의 거듭제곱이다. 구체적으로, 가환 국소환 <math>(R,\mathfrak m,K)</math>가 주어졌을 때, <math>R</math>와 <math>K</math>의 표수는 다음 4가지 가운데 하나이다. 여기서 <math>p</math>는 임의의 [[소수 (수론)|소수]]를 뜻한다.
{| class=wikitable
! 국소환 <math>R</math>의 [[환의 표수|표수]] || [[잉여류체]] <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]] || <math>R</math>에 포함된 [[체 (수학)|체]]
|-
| 0 || 0 || <math>\mathbb Q</math>
|-
| ''p'' || ''p'' || <math>\mathbb F_p</math>
|-
| 0 || ''p'' || (없음)
|-
| ''p''<sup>''k''</sup> (''k'' ≥ 2) || ''p'' || (없음)
|}
<math>\operatorname{char}R=\operatorname{char}K</math>인 경우를 '''동표수 국소환'''(同標數-, {{llang|en|equicharacteristic local ring}})이라고 하며, 아니면 <math>(\operatorname{char}R,\operatorname{char}K)</math>형의 '''혼합 표수 국소환'''({{llang|en|mixed characteristic local ring}})이라고 한다. <math>R</math>가 동표수 국소환인 것은 <math>R</math>가 어떤 [[체 (수학)|체]]를 [[부분환]]으로 포함하는 것과 [[동치]]이다.

== 분류 ==
모든 가환 국소환은 [[완비화 (환론)|완비화]]를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있으며, [[뇌터 환|뇌터 조건]] 아래 '''코언 구조 정리'''({{llang|en|Cohen structure theorem}})라는 분류가 존재한다.

가환 국소환 <math>(R,\mathfrak m,K)</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우, <math>R</math>의 <math>\mathfrak m</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>\hat R</math> 역시 국소환이다. 이렇게 얻어진 국소환을 '''가환 완비 국소환'''이라고 한다. <math>R</math>가 [[정칙환]]인 것은 <math>\hat R</matH>가 [[정칙환]]인 것과 [[동치]]이다. <math>R</math>의 [[환의 표수|표수]]는 <math>\hat R</math>의 [[환의 표수|표수]]와 같으며, <math>\hat R</math>의 [[잉여류체]]는 <math>R</math>의 [[잉여류체]] <math>K</math>와 같다.

가환 완비 국소환 <math>(\hat R,\hat{\mathfrak m},K)</math>의 '''계수환'''({{llang|en|coefficient ring}})은 다음 성질들을 모두 만족시키는 [[부분환]] <math>C\subseteq\hat R</math>이다.
* <math>(C,\hat{\mathfrak m}\cap C)</math>는 가환 완비 국소환이다.
* <math>C</math>의 [[잉여류체]] <math>C/(\hat{\mathfrak m}\cap C)</math>의 사영 사상 <math>\hat R\to K=\hat R/\hat{\mathfrak m}</math> 아래의 [[상 (수학)|상]]은 <math>K</math>이다.
*:<math>C/(\hat{\mathfrak m}\cap C)=K</math>
* <math>C\cap\hat{\mathfrak m}=(\operatorname{char}K)C</math>
계수환은 유일하지 않을 수 있다.

[[뇌터 가환환|뇌터 가환]] 완비 국소환 <math>(\hat R,\hat{\mathfrak m},K)</math>가 주어졌을 때, '''코언 구조 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.
* <math>\hat R</math>는 적어도 하나의 계수환 <math>C</math>를 갖는다.
** 만약 <math>\hat R</math>가 동표수 국소환이라면, <math>C\cong K</math>이게 놓을 수 있다.
* 만약 <math>\hat{\mathfrak m}=(r_1,r_2,\dots,r_n)</math>이 <math>n</math>개의 원소 <math>r_i\in\hat R</math>로 생성되는 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[아이디얼]]이라면, <math>\hat R\cong C[[x_1,\dots,x_n]]/\mathfrak a</math>가 되는 <math>C[[x_1,\dots,x_n]]</math>-[[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq C[[x_1,\dots,x_n]]</math>이 존재한다.
** 특히, 만약 <math>\hat R</math>가 [[뇌터 환]]이라면 <math>\hat{\mathfrak m}</math>은 유한 생성 아이디얼이며, 위 조건이 성립한다.
** 특히, 만약 <math>\hat R</math>가 추가로 동표수 [[정칙 국소환]]이라면, <math>\hat R\cong C[[x_1,\dots,x_n]]</math>이다.
여기서
* <math>C[[x_1,\dots,x_n]]</math>은 <math>C</math> 계수의 <math>n</math>개의 변수에 대한 [[형식적 멱급수환]]이다.

== 예 ==
[[가환환]] <math>R</math>의 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>는 국소환이다.

모든 [[나눗셈환]]은 국소환이다. (이 경우 [[영 아이디얼]]은 유일한 [[진 아이디얼|진]] [[왼쪽 아이디얼]]이자 [[진 아이디얼|진]] [[오른쪽 아이디얼]]이다.)

=== 비가환 국소환의 예 ===
(비가환환일 수 있는) 환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM)</math>이 [[국소환]]이라면, <math>M</math>은 [[분해 불가능 가군]]이다. 반대로, 만약 <math>_RM</math>이 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 가지며 [[분해 불가능 가군]]이라면, [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM)</math>은 (비가환환일 수 있는) 국소환이다.

양의 표수 <math>p>0</math>의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및 [[p-군|''p''-군]]  <math>G</math>가 주어졌을 때, [[군환]] <math>k[G]</math>는 국소환이다.

=== 반례 ===
체 <math>K</math> 위의 2×2 행렬환 <math>\operatorname{Mat}(2;K)</math>은 유일한 (극대) [[양쪽 아이디얼]] <math>\{0\}</math>을 가지지만, [[극대 왼쪽 아이디얼]] 또는 [[극대 오른쪽 아이디얼]]은 유일하지 않으며, 따라서 국소환이 아니다.

== 응용 ==
[[대수기하학]]에서는 (가환) 국소환들이 자주 등장하며, 이는 보통 [[가환환]]을 [[소 아이디얼]]에서 [[국소화 (환론)|국소화]]하여 얻어진다.

국소환을 [[아핀 스킴]]으로 여기면, [[자리스키 위상]]에서 [[극대 아이디얼]]들은 닫힌 점들에 대응하므로, 국소환은 정확히 하나만의 닫힌 점을 포함하는 아핀 스킴이다. 즉, 이 점의 [[근방]] 위의 함수환으로 여길 수 있다. 실제로, 일반적 스킴을 임의의 점 ([[소 아이디얼]])에서 [[국소화 (환론)|국소화]]하면, 그 점 근방만의 정보를 담고 있는 국소환을 얻는다. 즉, 국소환은 [[자리스키 위상]]에서의 스킴의 줄기에 해당한다. 마찬가지로, [[니스네비치 위상]]에서의 줄기는 [[헨젤 국소환]]이며, [[에탈 위상]]에서의 줄기는 [[순 헨젤 국소환]]이다.

== 역사 ==
국소환의 개념은 [[볼프강 크룰]]이 [[1938년]]에 {{llang|de|Stellenring|슈텔렌링}}(위치환)이라는 명칭으로 도입하였다.<ref>
{{저널 인용|성=Krull|이름=Wolfgang|저자링크=볼프강 크룰|제목=Dimensionstheorie in Stellenringen|저널 =Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1938|호=179|쪽=204–226|연도=1938|월=1|doi=10.1515/crll.1938.179.204|언어=de}}</ref> "국소환"이라는 명칭은 [[오스카 자리스키]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Zariski|이름=Oscar|저자링크=오스카 자리스키|날짜=1943|월=5|제목=Foundations of a general theory of birational correspondences|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=53|호=3|쪽 =490-542|doi=10.1090/S0002-9947-1943-0008468-9|언어=en}}</ref>

코언 구조 정리는 [[어빈 솔 코언]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Cohen | first1=Irvin Sol | 저자링크=어빈 솔 코언 | title=On the structure and ideal theory of complete local rings | url= http://www.jstor.org/stable/1990313 |mr=0016094 | year=1946 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=59 | pages=54–106 | doi=10.2307/1990313 | 언어=en}}</ref> (코언의 논문이 집필되었을 당시 "국소환"({{llang|en|local ring}})이라는 용어는 항상 [[뇌터 환|뇌터]] 국소환을 의미하였다.)

역사적으로, 1960년대 이전까지는 "국소환"이라는 개념에는 [[왼쪽 뇌터 환]]이자 [[오른쪽 뇌터 환]]이어야 한다는 조건이 첨가되었으며, 뇌터 조건을 만족시키지 않는 경우 "준국소환"({{llang|en|quasilocal ring}})이라는 이름으로 불렸다. 그러나 1960년대부터 뇌터 조건이 생략되었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Local algebra|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|isbn=978-3-642-08590-1|총서=Springer Monographs in Mathematics|날짜=2000|doi=10.1007/978-3-662-04203-8|issn=1439-7382|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[값매김환]]
* [[이산 값매김환]]
* [[정칙 국소환]]
* [[헨젤 환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Local ring}}
* {{매스월드|id=LocalRing|title=Local ring}}
* {{nlab|id=local ring|title=Local ring}}
* {{웹 인용|웹사이트=Commalg|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Local_ring|제목=Local ring|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160427184910/http://commalg.subwiki.org/wiki/Local_ring|보존날짜=2016-04-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|웹사이트=Commalg|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Noetherian_local_ring|제목=Noetherian local ring|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160427174445/http://commalg.subwiki.org/wiki/Noetherian_local_ring|보존날짜=2016-04-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|웹사이트=Commalg|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Regular_local_ring|제목=Regular local ring|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160427171659/http://commalg.subwiki.org/wiki/Regular_local_ring|보존날짜=2016-04-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|웹사이트=Commalg|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Generalized_local_ring|제목=Generalized local ring|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160427185430/http://commalg.subwiki.org/wiki/Generalized_local_ring|보존날짜=2016-04-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|웹사이트=Commalg|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Local_Noetherian_domain|제목=Local Noetherian domain|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160427193636/http://commalg.subwiki.org/wiki/Local_Noetherian_domain|보존날짜=2016-04-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|웹사이트=Commalg|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Local_Cohen-Macaulay_ring|제목=Local Cohen-Macaulay domain|언어=en|확인날짜=2016-04-21|보존url=https://web.archive.org/web/20160427163856/http://commalg.subwiki.org/wiki/Local_Cohen-Macaulay_ring|보존날짜=2016-04-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|웹사이트=ProofWiki|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Local_Ring|제목=Definition: local ring|언어=en|확인날짜=2016-05-18|보존url=https://web.archive.org/web/20120502123846/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Local_Ring|보존날짜=2012-05-02|url-status=dead}}

* {{웹 인용|웹사이트=ProofWiki|url=https://proofwiki.org/wiki/Characterisation_of_Local_Rings|제목=Characterisation of local rings|언어=en|확인날짜=2016-05-18|보존url=https://web.archive.org/web/20150619173236/https://proofwiki.org/wiki/Characterisation_of_Local_Rings|보존날짜=2015-06-19|url-status=dead}}

[[분류:가환대수학]]