국소화 (환론) 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''국소화'''(局所化, {{llang|en|localization}})는 [[환 (수학)|환]]의 일부 원소에 역원을 추가하여 [[가역원]]으로 만드는 방법이다. [[대수기하학]]에서 이 과정은 [[환의 스펙트럼|스펙트럼 함자]]를 통해 [[대수다양체]] 또는 [[스킴 (수학)|스킴]]의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. [[가환환]]의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 '''오레 조건'''({{llang|en|Ore condition}})이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.

== 가환환의 국소화 ==
=== 보편 성질 ===
<math>R</math>가 [[가환환]]이고, <math>S\subseteq R</math>가 곱셈에 대한 [[모노이드]]라고 하자. 그렇다면, <math>R</math>의 <math>S</math>에 대한 '''국소화''' <math>(S^{-1}R,\phi)</math>는 다음 [[보편 성질]]을 만족시키는 가환환 <math>S^{-1}R</math> 및 [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S^{-1}R</math>으로 구성된다.
# 임의의 <math>s\in S\subseteq R</math>에 대하여, <math>\phi(s)\in S^{-1}R</math>는 [[가역원]]이다.
# (1)을 만족시키는 임의의 [[가환환]] <math>R'</math> 및 [[환 준동형]] <math>\phi'\colon R\to R'</math>에 대하여, <math>\phi'=\chi\circ\phi</math>이 되는 [[환 준동형]] <math>\chi\colon S^{-1}R\to R'</math>가 유일하게 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
R&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}R\\
&{\scriptstyle\phi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&R'
\end{matrix}</math>
국소화는 항상 존재하며, [[보편 성질]]의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

위 [[보편 성질]]은 <math>S</math>가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 [[가역원]]의 곱은 항상 [[가역원]]이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 <math>S</math>를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 <math>S</math>가 곱셈 모노이드가 아니고, <math>\tilde S</math>가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 <math>S^{-1}R=\tilde S^{-1}R</math>가 된다.

=== 구성 ===
위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

<math>R\times S</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자. 만약 <math>r,r'\in R</math>, <math>s,s'\in S</math>이고 <math>t(rs'-r's)=0</math>인 <math>t\in S</math>가 있다면
:<math>(r,s)\sim(r',s')</math>
으로 정의한다. 그렇다면 <math>S^{-1}R=(R\times S)/{\sim}</math>로 놓자. 이는 대략 <math>(r,s)</math>를 <math>r/s</math>와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 <math>(r,s)</math>를 <math>r/s</math>로 쓰자.

<math>S^{-1}R</math> 위에 다음과 같은 [[가환환]] 구조를 정의한다.
:<math>\frac rs+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'}</math>
:<math>\frac rs\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'}</math>.
또한, <math>R\to S^{-1}R</math>로 가는 다음과 같은 [[환 준동형]]이 존재한다.
:<math>r\mapsto\frac r1</math>.
이는 일반적으로 [[단사 함수]]도, [[전사 함수]]도 아니다.

== 비가환환의 국소화 ==
[[가환환]]이 아닐 수 있는 임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 및 부분 모노이드 <math>S\subseteq R</math>에 대하여, 국소화 <math>\phi\colon R\to S^{-1}R</math>를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>에서 마찬가지 [[보편 성질]]을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|289, Proposition (4.9.2)}} 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.
* (A) <math>S^{-1}R</math>의 모든 원소 <math>x</math>에 대하여, <math>xs=r</math>가 되는 <math>s\in S</math> 및 <math>r\in R</math>가 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|288, (4.9.1a)}}
* (A′) <math>S^{-1}R</math>의 모든 원소 <math>x</math>에 대하여, <math>xs=r</math>가 되는 <math>s\in S</math> 및 <math>r\in R</math>가 존재한다.
* (B) <math>\phi\colon R\to S^{-1}R</math>의 [[핵 (수학)|핵]]은 <math>\ker\phi=\{r\in R\colon 0\in rS\}</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|288, (4.9.1b)}}
* (B′) <math>\phi\colon R\to S^{-1}R</math>의 [[핵 (수학)|핵]]은 <math>\ker\phi=\{r\in R\colon 0\in Sr\}</math>이다.
* (C) <math>R\ne0</math>이며 <math>0\not\in S</math>라면 <math>S^{-1}R\ne0</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|289, Example (4.9.3)}}
이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 '''보편 <math>S</math>-가역화 환'''(普遍<math>S</math>-可逆化環, {{llang|en|universal <math>S</math>-inverting ring}})이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 [[범주론]]적으로 다음과 같이 보일 수 있다. [[표현 가능 함자]] <math>\hom_{\operatorname{Ring}}(R,-)</math> 속의, <math>S</math>를 [[가역원]]으로 대응시키는 [[환 준동형]]으로 구성된 부분 함자
:<math>G_S\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>G_S(R')=\left\{\phi\in\hom_{\operatorname{Ring}}(R,R')\colon \phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')\right\}</math>
를 생각하자. 이는 [[프레이드 수반 함자 정리]]에 따라서 [[왼쪽 수반 함자]] <math>F_S\dashv G_S</math>를 가지며, 따라서 <math>G_S</math>는 [[표현 가능 함자]]이다. 즉,
:<math>G_S(-)=\hom_{\operatorname{Ring}}(F_S(\{\bullet\}),-)</math>
로 생각할 수 있으며, <math>F_S(\{\bullet\})</math>는 국소화 <math>S^{-1}R</math>를 이룬다.

만약 <math>R</math>가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 <math>S^{-1}R</math>는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 [[가환환]]임을 쉽게 알 수 있다.)

=== 구성 ===
비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.<ref name="Lam"/>{{rp|Proposition (4.9.2)}} [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 표시
:<math>R\cong\langle\{r_i\}_{i\in I}|\{\phi_j\}_{j\in J}\rangle</math>
를 고르자. 즉, 생성원 <math>r_i</math>와 관계 <math>\phi_j</math>로 나타내자. 그렇다면, 각 <math>s\in S</math>에 대하여 생성원 <math>s^*</math>를 추가하고, 또 관계
:<math>ss^*=s^*s=1</math>
를 추가하자. 그렇다면
:<math>S^{-1}R=\left\langle\{r_i\}_{i\in I}\sqcup\{s^{-1}\}_{s\in S}|\{\phi_j\}_{j\in J}\cup\{ss^*-1\}_{s\in S}\cup\{s^*s-1\}_{s\in S}\right\rangle</math>
는 국소화의 [[보편 성질]]을 만족시킨다.

이 구성에서, <math>S^{-1}R</math>의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
:<math>\sum_{i=1}^nr_i^{(1)}(s_1^{(1)})^{-1}r_i^{(2)}(s_1^{(2)})^{-1}\cdots r_i^{(k_i)}(s_1^{(k_i)})^{-1}</math>

=== 오레 국소화 ===
비가환환 <math>R</math>의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 <math>R</math>와 부분 모노이드 <math>S\subseteq R</math>가 '''오레 조건'''({{llang|en|Ore condition}})이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 '''오레 국소화'''는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로, <math>R</math>와 부분 모노이드 <math>S\subseteq R</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''왼쪽 오레 조건'''({{llang|en|left Ore condition}})이 성립한다고 한다.
* <math>Sr \cap Rs \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S</math>
* <math>\left(0\in rS\implies 0\in Sr\right)\quad\forall r\in R</math>
마찬가지로, <math>R</math>와 부분 모노이드 <math>S\subseteq R</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''오른쪽 오레 조건'''({{llang|en|right Ore condition}})이 성립한다고 한다.
* <math>rS \cap sR \ne\varnothing\quad\forall r\in R,\;s\in S</math>
* <math>\left(0\in Sr\implies 0\in rS\right)\quad\forall r\in R</math>

<math>(R,S)</math>가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, [[곱집합]] <math>R\times S</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 주자.
:<math>(r,s)\sim(r',s')\iff\exists \tilde r\in R,\tilde s\in S\colon \tilde ss'-\tilde rs=\tilde sr'-\tilde rr=0</math>
그렇다면 <math>S^{-1}R</math>는 집합으로서 [[몫집합]] <math>(R\times S)/{\sim}</math>이다. <math>(r,s)</math>의 동치류를 <math>s^{-1}r</math>로 표기하자. <math>S^{-1}R</math> 위의 곱셈은 다음과 같다.
:<math>(s^{-1}r)(s'^{-1}r')=(\tilde ss)^{-1}(\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde rs'=\tilde sr)</math>
여기서 <math>\tilde rs'=\tilde sr</math>인 <math>\tilde r\in R,\tilde s\in S</math>는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
:"<math>\tilde s^{-1}\tilde r=rs'^{-1}</math>"
로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, <math>S^{-1}R</math> 위의 덧셈은 다음과 같다.
:<math>s^{-1}r+s'^{-1}r'=(\tilde ss)^{-1}(\tilde sr+\tilde rr')\qquad(\tilde r\in R,\quad\tilde s\in S,\quad\tilde ss=\tilde rs')</math>
여기서 <math>\tilde ss=\tilde rs'</math>인 <math>\tilde r\in R,\tilde s\in S</math>는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
:"<math>\tilde s^{-1}\tilde r=ss'^{-1}</math>"
로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는
:"<math>s^{-1}r+s'^{-1}r'=s^{-1}\left(r+ss'^{-1}r'\right)=s^{-1}\left(r+\tilde s^{-1}\tilde rr'\right)
=s^{-1}\tilde s^{-1}\left(\tilde sr+\tilde rr'\right)
=(\tilde ss)^{-1}\left(\tilde sr+\tilde rr'\right)
</math>"
로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 <math>S^{-1}R</math>를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 '''오레 국소화'''({{llang|en|Ore localization}})라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 ([[보편 성질]]에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.<ref name="Lam"/>{{rp|Corollary (4.10.11)}}

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

== 가군의 국소화 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 곱셈에 대한 부분 모노이드 <math>S\subseteq R</math> 및 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>의 <math>S</math>에서의 '''국소화''' <math>S^{-1}M</math>은 <math>S^{-1}R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]이며, 다음과 같다.
:<math>S^{-1}M=S^{-1}R\otimes_RM</math>
또한, 표준적인 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 사상 <math>\phi\colon M\to S^{-1}M</math>가 존재한다.

이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>(S^{-1}R\otimes_R)\colon {{}_R\operatorname{Mod}}\to{{}_{S^{-1}R}\operatorname{Mod}}</math>
를 정의하며, [[환 준동형]] <math>R\to S^{-1}R</math>에 의한 망각 함자
:<math>F\colon{{}_{S^{-1}R}\operatorname{Mod}}\to {{}_R\operatorname{Mod}}</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]]이다. 즉, 이는 다음과 같은 [[수반 함자]] [[보편 성질]]을 만족시킨다. 임의의 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]의 [[준동형]] <math>\phi_N\colon M\to N</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여 <math>s\cdot\colon N\to N</math>이 [[전단사 함수]]라면, <math>\phi_N=\chi\circ\phi</math>인 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 준동형 <math>\chi\colon S^{-1}M\to N</math>이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
M&\xrightarrow{\phi}&S^{-1}M\\
&{\scriptstyle\phi_N}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!\chi\\
&&N
\end{matrix}</math>

=== 구성 ===
<math>R</math>가 [[가환환]]일 때, 가군의 국소화 <math>S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes_RM</math>는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

<math>S\times M</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 부여하자.
:<math>(s,m)\sim(s',m')\iff\exists t\in S\colon ts'm=tsm'</math>
<math>S^{-1}M</math>은 집합으로서 위 [[동치 관계]]에 대한 [[몫집합]]이다. <math>(s,m)\in S\times M</math>의 [[동치류]]를 <math>m/s</math>로 표기하자. 그렇다면, <math>S^{-1}M</math> 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.
:<math>\frac ms+\frac{m'}{s'}=\frac{s'm+sm'}{ss'}\qquad\forall m,m'\in M,\;s,s'\in S</math>
:<math>\frac rs\frac m{s'}=\frac{rm}{ss'}\qquad\forall m\in M,\;s,s'\in S,\;r\in R</math>

== 성질 ==
=== 소 아이디얼 ===
가환환 <math>R</math> 및 곱셈 [[모노이드]] <math>S\subseteq R</math>에 대하여, 국소화 <math>\phi\colon R\to S^{-1}R</math>의 [[소 아이디얼]]들은 <math>R</math>의 소 아이디얼 가운데 <math>S</math>와 [[서로소 집합|서로소]]인 것들과 [[일대일 대응]]한다. 즉, 다음과 같은 [[전단사 함수]]가 존재한다.
:<math>f\colon\operatorname{Spec}(S^{-1}R)\to\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\cap S=\varnothing\}</math>
:<math>f\colon\mathfrak q\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak q)</math>
여기서  <math>\phi\colon R\to S^{-1}R</math>는 표준적으로 존재하는 [[환 준동형]]이다.

특히, <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak p}</math>는 [[국소환]]이며, 유일한 [[극대 아이디얼]]은 <math>\mathfrak p</math>에 대응한다.

=== 국소화의 단사성과 전사성 ===
가환환 <math>R</math> 및 곱셈 [[모노이드]] <math>S\subseteq R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 표준적 [[환 준동형]] <math>R\to S^{-1}R</math>가 [[단사 함수]]이다.
* <math>S</math>는 [[영인자]]를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)
그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

[[뇌터 환|뇌터 가환환]] <math>R</math> 위의 [[단사 가군]] <math>I</math> 및 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>I\to I_r</math>는 [[전사 함수]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|214, Lemma III.3.3}}

=== 오레 조건의 필요충분성 ===
환 <math>R</math> 및 곱셈 모노이드 <math>S\subseteq R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|300, Theorem (4.10.6)}}
* <math>(R,S)</math>는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
* 다음 세 조건들을 만족시키는 [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to R'</math>이 존재한다.
** <math>\phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')</math>
** <math>R'=\phi(S)^{-1}\phi(R)</math>
** <math>\ker\phi=\{r\in R\colon 0\in Sr\}</math>
또한, 이러한 조건을 만족시키는 <math>\phi\colon R\to R'</math>는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.<ref name="Lam"/>{{rp|302, Corollary (4.10.11)}}

마찬가지로, 환 <math>R</math> 및 곱셈 모노이드 <math>S\subseteq R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(R,S)</math>는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
* 다음 세 조건들을 만족시키는 [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to R'</math>이 존재한다.
** <math>\phi(S)\subseteq\operatorname{Unit}(R')</math>
** <math>R'=\phi(R)\phi(S)^{-1}</math>
** <math>\ker\phi=\{r\in R\colon 0\in rS\}</math>

특히, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

== 예 ==
(비가환일 수 있는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 및 곱셈 모노이드 <math>S\subseteq R</math>가 주어졌다고 하자.
* <math>0\in S</math>이라고 하자. 그렇다면 항상 <math>S^{-1}R=0</math> ([[자명환]])이다. 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 그 역 또한 성립한다.
* <math>S=\{1\}</math>이라고 하자. 그렇다면 항상 <math>S^{-1}R=R</math>이다.

=== 분수체 ===
{{본문|분수체}}
(곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여,
:<math>S=R\setminus\left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)</math>
가 정칙원([[오른쪽 영인자]] 또는 [[왼쪽 영인자]]가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, <math>(R,S)</math>가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 <math>S^{-1}R</math>를 <math>R</math>의 '''[[전분수환]]''' <math>\operatorname{Frac}R</math>라고 한다.

특히, 만약 <math>R</math>가 (가환) [[정역]]이라면 <math>S=R\setminus\{0\}</math>이며, <math>\operatorname{Frac}R</math>는 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 이 경우, <math>\operatorname{Frac}R</math>는 '''[[분수체]]'''라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 <math>S\subseteq R\setminus\{0\}</math>가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 <math>R\to S^{-1}R</math>은 다음과 같이 <math>R\to\operatorname{Frac}R</math>의 일부분을 이룬다.
:<math>R\to S^{-1}R\to\operatorname{Frac}R</math>
이에 따라 <math>S^{-1}R</math>는 항상 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}R</math>의 [[부분환]]을 이룬다.

=== 정수환 ===
정수환 <math>\mathbb Z</math>의 [[소 아이디얼]]은 [[소수 (수론)|소수]]의 [[주 아이디얼]] <math>(p)</math> 또는 영 아이디얼 <math>(0)</math>이다.

정수환 <math>\mathbb Z</math>를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.
:<math>\mathbb Z_{(p)}=\{m/n\colon\gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}\subsetneq\mathbb Q</math>
:<math>\mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q</math>
즉, 분모가 <math>p</math>의 배수가 아닌 [[유리수]]들의 환이다. 이들은 [[정역]]의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 [[국소환]]이다. 특히, <math>\mathbb Z_{(p)}</math>는 [[이산 값매김환]]이며, <math>\mathbb Z_{(0)}=\mathbb Q</math>는 [[체 (수학)|체]]이다.

정수환의 <math>\mathbb Z</math>를 원소 <math>k\in\mathbb Z</math>에서 국소화하면 다음과 같다.
:<math>\mathbb Z_k=\{m/k^n\colon\gcd\{m,k\}=1,\;n\in\mathbb N\}\subsetneq\mathbb Q\qquad(k\ne0)</math>
:<math>\mathbb Z_0=0</math> ([[자명환]])
즉, 분모가 <math>k</math>의 거듭제곱인 [[유리수]]들의 환이다. (이는 흔히 <math>\mathbb Z_p</math>로 표기되는 [[p진 정수]]의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 [[완비화 (환론)|완비화]]하여 얻는다.)

=== 정수환의 몫환 ===
[[정수환]]의 [[몫환]] <math>R=\mathbb Z/(n)</math>을 생각해 보자. <math>n</math>이 [[소수 (수론)|소수]]의 거듭제곱이라면 <math>S=\{1\}</math>이거나 <math>0\in S</math>이다. 만약 <math>n=ab</math>이고, <math>a</math>와 <math>b</math>가 1보다 큰 [[서로소 정수|서로소]] 자연수라면 [[중국인의 나머지 정리]]에 의하여 <math>\mathbb Z/ab=\mathbb Z/a\times\mathbb Z/b</math>이다. 그렇다면 <math>S=\{(1,0),(1,1)\}</math>이 가능한데, 이 경우 <math>S^{-1}R=\mathbb Z/b</math>이다.

=== 비가환환의 자명한 국소화 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및 정수 <math>n\ge2</math>에 대하여, [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(K;n)</math>을 생각하자. <math>E_{i,j}</math>가 <math>(i,j)</math>에서 성분 <math>1\in K</math>을 가지며, 나머지 성분이 모두 <math>0\in K</math>인 행렬이라고 하자. 그렇다면, <math>S=\{1,E_{i,j}\}</math>일 때, 국소화 <math>S^{-1}\operatorname{Mat}(K;n)</math>는 [[자명환]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|289–290, Example (4.9.3)}}

== 응용 ==
[[대수기하학]]에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic Geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|xvi}}
* 원소 <math>f\in R</math>가 주어진 경우, <math>R_f</math>는 <math>S=\{1,f,f^2,f^3,\dots\}</math>에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 <math>f</math>가 0이 아닌 점들로 구성된 [[자리스키 위상|자리스키]] [[열린집합]] <math>U_f\subset\operatorname{Spec}R</math>에 국한한 것이다.
** 예를 들어, 1차원 [[아핀 공간]]의 함수환 <math>k[x]</math>의 경우 <math>k[x]_x=k[x,x^{-1}]</math>는 [[로랑 다항식환]]이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 <math>\{x\ne0\}=\mathbb A^1_k\setminus\{0\}</math> 위에서 정의된 [[유리 함수]]들의 체이므로, <math>\{x\ne0\}</math>으로 국한된 것을 알 수 있다.
* [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in R</math>가 주어진 경우, <math>R_{\mathfrak p}</math>는 <math>S=R\setminus\mathfrak p</math>에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>의 [[자리스키 위상|자리스키]] [[폐포 (위상수학)|폐포]] <math>V(\mathfrak p)</math>의 [[근방]]에 국한한 것이다.
** 예를 들어, 1차원  [[아핀 공간]]의 함수환 <math>k[x]</math>를 [[극대 아이디얼]] <math>(x)</math>에서 국소화하면 [[유리 함수체]] <math>k[x]_{(x)}=k(x)=\{f(x)/g(x)\colon f(x),g(x)\in k[x], g(0)\ne0\}</math>을 얻는다. 이는 <math>x=0</math>의 [[근방]]에서 정의되는 [[유리 함수]]들의 체이므로, <math>x=0</math>의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

== 역사 ==
1927년에 하인리히 그렐({{llang|de|Heinrich Grell}}, 1903~1974)이 [[정역]]의 [[분수체]]를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Grell|제목=Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1927_97/page/n496|저널=Mathematische Annalen|권=97|날짜=1927|쪽=490–523|doi=10.1007/BF01447879|issn=0025-5831|언어=de}}</ref><ref name="CM"/>{{rp|299}}<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|57}}

[[에미 뇌터]]는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.<ref name="Lam"/>{{rp|300}} 오레 국소화는 [[외위스테인 오레]](1899~1968)가 1937년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Linear equations in non-commutative fields|이름=Oystein|성=Ore|저자링크=외위스테인 오레|jstor=1968245|doi=10.2307/1968245|저널=Annals of Mathematics|권=32|호=3|날짜=1937-07|쪽=463–477|언어=en}}</ref>{{rp|466}}<ref name="CM">{{저널 인용|제목=The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings) |이름=S. C.|성=Coutinho|이름2=J. C.|성2=McConnell|저널=The American Mathematican Monthly|jstor=3647879|doi=10.2307/3647879|권=110|호=4|날짜=2003-04|쪽=298–313|언어=en}}</ref>{{rp|299}} ([[람짓윈]]은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 [[어구전철]]이 된다는 사실을 지적하였다.<ref name="Lam"/>{{rp|300}})

임의의 [[가환환]]의 국소화는 [[클로드 슈발레]]<ref>{{저널 인용|성=Chevalley|이름=C.|저자링크=클로드 슈발레|날짜=1944|제목=On the theory of local rings|저널=Annals of Mathematics|권=44|쪽=690–708|jstor=1969105|doi=10.2307/1969105|언어=en}}</ref>와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프({{llang|ru|Алекса́ндр Илларио́нович У́зков}})<ref>{{저널 인용|성=Узков|이름=Александр Илларионович|날짜=1948|url=http://mi.mathnet.ru/msb6086|제목=О кольцах частных коммутативных колец|저널=Математический сборник|권=13|쪽=71–78|zbl=0035.01903|mr=26041|언어=ru}}{{깨진 링크|url=http://mi.mathnet.ru/msb6086 }}</ref>가 도입하였다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|57}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Noncommutative localization in algebra and topology|총서= London Mathematical Society Lecture Note Series|권=330|날짜=2006-02|쪽=220–313|장=|isbn=9780521681605|editor1-first= Andrew |editor1-last=Ranicki|doi=10.1017/CBO9780511526381.015|언어=en}}
** {{서적 인용|장=Noncommutative localization in noncommutative geometry|arxiv=math/0403276|이름=Zoran|성=Škoda|총서= London Mathematical Society Lecture Note Series|권=330|날짜=2006-02|쪽=220–313|제목=Noncommutative localization in algebra and topology|isbn=9780521681605|editor1-first= Andrew |editor1-last=Ranicki|doi=10.1017/CBO9780511526381.015|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[국소환]]
* [[값매김환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Localization in a commutative algebra}}
* {{eom|title=Fractions, ring of}}
* {{매스월드|id=Localization|title=Localization}}
* {{nlab|id=localization of a ring|title=Localization of a ring}}
* {{nlab|id=localization of a commutative ring|title=Localization of a commutative ring}}
* {{nlab|id=localization of a module|title=Localization of a module}}
* {{nlab|id=universal localization|title=Universal localization}}
* {{nlab|id=commutative localization|title=Commutative localization}}
* {{nlab|id=Ore localization}}
* {{nlab|id=Ore set}}
* {{nlab|id=Ore domain}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/26/ore-condition/|제목=Ore condition|날짜=2009-12-26|성=Sharifi|이름=Yaghoub|웹사이트=Abstract Algebra|언어=en|확인날짜=2016-03-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160313100054/https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/26/ore-condition/|보존날짜=2016-03-13|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/97556/noncommutative-localization-of-a-ring-complete-construction|제목=Noncommutative localization of a ring: complete construction|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-03-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160306064509/http://mathoverflow.net/questions/97556/noncommutative-localization-of-a-ring-complete-construction|보존날짜=2016-03-06|url-status=dead}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:환론]]
[[분류:분수]]