구 (기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Sphere_(Shaded).png|섬네일|구]]
[[기하학]]에서, '''구'''(球, sphere)는 한 점과의 [[거리]]가 같은, '모든 점에서 동일한 거리를 가지는 3차원 공간 위의 점들의 집합'이자 폐곡선으로 둘러싸인 2차원 평면([[폐곡면]])이다. '구'라는 이름은 [[공]]이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, [[공 (수학)|공]]은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.

[[데카르트 좌표계]]에서는 [[중심 (기하학)|중심]]이 {{수학|(''a'', ''b'', ''c'')}}이고 반지름이 {{mvar|r}}인 구를

:<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^ 2 =  r^2</math>

라는 [[방정식]]으로 나타낼 수 있다. 두 개의 [[매개변수]] {{수학|''θ'' ∈ [0, 2''π'']}}, {{수학|''φ'' ∈ [0, ''π'']}}를 이용하여

:<math>x=a+r\cos\theta\cos\varphi</math>
:<math>y=b+r\sin\theta\cos\varphi</math>
:<math>z=c+r\sin\varphi</math>

로 표현할 수도 있다.

== 구의 부피 ==
=== 단면적의 적분을 이용한 증명 ===
원의 방정식 <math> x^2 + y^2 = r^2, (y \geq 0)</math>을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을 <math>y \geq 0</math>로 한정하면 함수 <math> y = \sqrt{r^2 - x^2} </math>를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

<math>V = \int_{0}^{r} A(x) dx</math>

단면적 함수 A(x)는 함수 <math> y = \sqrt{r^2 - x^2} </math>의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 <math>\pi</math>를 곱한 값이므로

<math>A(x) = \pi (r^2 - x^2)</math>이다.

따라서 <math>V = \int_{0}^{r} A(x) dx = \int_{0}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx </math>

<math>= [ \pi r^2 x ]_{0}^{r} - [ \pi \frac{1}{3}\ x^3 ]_{0}^{r} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3</math>이다.

구의 부피는 <math>2V</math>이므로 반지름이 <math>r</math>인 구의 [[부피]]는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>이다.

=== [[원통셸 방법]]을 이용한 증명 ===
1사분면 위의 원 <math>y = \sqrt{r^2 - x^2} (x \geq 0)</math>을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

<math>V = \int_{0}^{r} 2\pi x \sqrt{r^2 - x^2} dx</math>

<math>= -\frac{2}{3}\pi[ (r^2 - x^2)^\frac{3}{2} ]_{0}^{r} = -\frac{2}{3}\pi(0 - r^3) = \frac{2}{3}\pi r^3</math>

따라서 구의 부피는 <math>2V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>이다.

=== [[질량 중심]] 및 [[파푸스-굴딘 정리]]를 이용한 증명 ===
원의 방정식 <math> x^2 + y^2 = r^2 (y \geq 0)</math>의 그래프는 함수 <math> y = \sqrt{r^2 - x^2} </math>의 그래프이므로, <math>y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}</math>라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표 <math>(\bar{x}, \bar{y})</math>를 구한다.

함수 <math>f(x)</math>는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, <math>\bar{x}</math>의 좌표는 0이다.

<math>\bar{y} = \frac{\frac{1}{2}(\int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx)}{\frac{1}{2}\pi r^2} = \frac{(\int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx)}{\pi r^2}</math>

<math>= \frac{\frac{4r^3}{3}}{\pi r^2} = \frac{4r}{3\pi}</math>이므로

질량 중심 좌표 <math>(\bar{x}, \bar{y}) = (0, \frac{4r}{3\pi})</math>이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

<math>V = 2\pi\bar{y}\mathrm{A}</math> (A는 영역의 넓이) 이므로

<math>V = 2\pi\cdot\frac{4r}{3\pi}\cdot\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3</math>이다.

따라서 구의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>이다.

== 부피비 ==
밑면의 반지름이 <math>r</math>인 구의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>이고,

밑면의 반지름이 <math>r</math>이고, 높이가 <math>h</math>인 [[원뿔]]과 [[원기둥]]의 부피는 각각 <math>\frac{1}{3}\pi r^2 h</math>, <math>\pi r^2 h</math>이다.

<math>h=2r</math>이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 <math>\frac{2}{3}\pi r^3</math>, <math>2 \pi r^3</math>이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 <math>2r</math>인 [[정육면체]]에 [[내접]]하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

<math>\frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3 = 1 : 2 : 3</math>

== 구의 표면적 ==
밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

<math> \frac{1}{3} \pi r^3 : \frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 : S </math>

따라서 [[겉넓이]] <math>S = 4 \pi r^2</math>이 된다.

== 일반화 ==
구의 정의를 확장하여 <math>n</math>차원의 [[초구|구]]를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 [[원 (기하학)|원]], 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 <math>S^n</math>으로 표시하고, 정의는 <math>(n+1)</math>차원 [[유클리드 공간]]에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 <math>S^1</math>은 원, <math>S^2</math>는 구가 된다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류|Sphere}}
* [[원 (기하학)|원]]

{{전거 통제}}

[[분류:구 (기하학)]]
[[분류:도형]]
[[분류:미분기하학]]