구조 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''구조 다양체'''({{llang|en|<math>G</math>-structure manifold}})는 그 [[접다발]]이 어떤 [[리 군]]의 [[군의 작용|작용]]을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
[[리 군]] <math>G</math> 및 <math>G</math>의 충실한 유한 차원 실수 [[군의 표현|표현]]
:<math>\rho\colon G\to\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>
이 주어졌다고 하자. <math>(G,\rho)</math>-'''구조 다발'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>V</math>와 같은 차원의 [[매끄러운 벡터 다발]] <Math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 틀다발 <math>\operatorname F(E)</math>의 부분 다발인 <math>G</math>-[[주다발]] <math>P\subseteq\operatorname F(E)</math>
즉, 각 점 <math>x\in M</math>에서, 특별한 틀
:<math>\mathbb R^n\to\mathbb E_x</math>
들의 [[집합]]이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 [[추이적 작용|추이적]] 오른쪽 <math>G</math>-작용이 존재한다.

이는 사실 <math>E</math>와 <math>P\times_G\mathbb R^n</math> 사이의 벡터 다발 [[동형 사상]]과 동치이다.

그 [[접다발]]이 <math>(G,\rho)</math>-구조를 갖는 [[매끄러운 다양체]]를 '''<Math>(G,\rho)</math>-구조 다양체'''라고 한다. 이 경우, <math>(G,\rho)</math>-구조는 어떤 [[1차 미분 형식]]
:<math>\Omega^1(M;P\times_G\mathbb R^n)</math>
에 의하여 주어지는데, 이를 '''접착 형식'''({{llang|en|solder form}})이라고 한다.

=== 호환 접속 ===
<math>G</math>-구조 벡터 다발 <math>E\twoheadrightarrow M</math>의 '''호환 접속'''({{llang|en|compatible connection}})은 [[코쥘 접속]]
:<math>\nabla \colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(\mathrm T^*M\otimes E)</math>
가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
* 임의의 [[폐곡선]] <math>\gamma\colon [0,1]\to M</math> (<math>\gamma(0)=\gamma(1)</math>)에 대하여, <math>\gamma</math>에 대한 [[홀로노미]] <Math>\operatorname{Hol}_\gamma \in \operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>는 <math>G</math>에 속한다.

<math>(E,P)</math> 위의 <math>G</math>-호환 접속들의 공간은
:<math>\Omega^1(M;P\times_G\mathfrak g)</math>
위의 [[아핀 공간]]을 이룬다.

이 경우, 접속 <math>\nabla</math>의 곡률
:<math>
F_\nabla(X,Y) \in \mathfrak{gl}(E)
</math>
은 다음과 같은 [[2차 미분 형식]]을 이룬다.
:<math>F \in \Omega^2(M;P\times_G\mathfrak g)</math>

== 예 ==
다음과 같이, 다양한 미분기하학적 구조들은 <math>G</math>-구조 다양체의 개념의 특수한 경우이다.

{| class=wikitable

| <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math> || [[매끄러운 다양체]]
|-
| <math>\operatorname{GL}^+(n;\mathbb R)</math> || [[유향 다양체]]
|-
| <math>\operatorname{GL}(n/2;\mathbb C)</math> || [[개복소다양체]]
|-
| <math>\operatorname O(n;\mathbb R)</math> || [[리만 다양체]]
|-
| <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math> || [[유향 다양체|유향]] [[리만 다양체]]
|-
| <math>\operatorname O(p,n-p;\mathbb R)</math> || 부호수 <math>(p,n-p)</math>의 [[준 리만 다양체]]
|-
| <math>\operatorname{Sp}(n;\mathbb R)</math> || 준 심플렉틱 다양체
|-
| <math>\mathsf G_2\le\operatorname{GL}(7;\mathbb R)</math> || G₂ 다양체
|}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The geometry of ''G''-structures | 이름=Shiing-shen | 성=Chern | 저자링크=천싱선 | doi=10.1090/S0002-9904-1966-11473-8  | mr = 0192436 | 저널=Bulletin of the American Mathematical Society | 권=72 | 날짜=1966|쪽=167–219 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리만 기하학]]