구점원 문서 원본 보기

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[[파일:9point.png|오른쪽|섬네일|구점원]]

'''구점원'''(九點圓, {{llang|en|nine-point circle}})은 [[삼각형]]의 각 변의 [[중점 (기하학)|중점]], 각 [[꼭짓점]]에서 마주보는 변에 내린 [[수직|수선]]의 발, 각 꼭짓점과 [[수심 (기하학)|수심]]을 이은 [[선분]]의 중점을 지나는 [[원 (기하학)|원]]이다.

== 성질 ==

=== 기본 성질 ===
[[파일:구점원 성질.png|400px]]

삼각형 ABC에서, [[수심]]을 H, [[외심]]을 O, A에서 BC에 내린 수선의 발을 H<sub>A</sub>, BC의 중점을 M, AH의 중점을 P라 하자.

* PM은 구점원의 지름이다.

구점원은 P, H<sub>A</sub>, M을 지나며 <math>\angle{PH_AM}=90^\circ</math>이므로 PM은 구점원의 지름이다.

* AO와 PM이 평행하다.

AH=2OM([[세르보어의 정리]] 참고)이므로 AP=OM이고, AP와 OM은 BC와 수직하므로 평행이다.

따라서 APMO는 [[평행사변형]]이므로 AO와 PM은 평행하다.

=== 포이어바흐 정리 ===

{{본문|포이어바흐 정리}}

삼각형의 구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다.

이때 삼각형의 내접원과 구접원의 접점을 [[포이어바흐 점]]이라 한다.

=== 오일러 직선 ===
{{본문|오일러 직선}}

구점원의 중심은 [[수심]], [[외심]], [[무게중심]]과 한 직선 위에 있으며, 이 직선을 [[오일러 직선]]이라 한다.

=== 그 외 ===
[[정삼각형]]의 [[내접원]]과 구점원은 일치한다. 따라서 [[정삼각형]]은 [[외심]], [[내심]], [[무게중심]], [[수심 (기하학)|수심]], 구점원의 중심이 모두 한 점이다.

{{삼각형의 중심}}
{{토막글|기하학}}

[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:평면기하학 정리]]