구면 삼각형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Spherical trigonometry Intersecting circles001.svg|섬네일|구면 삼각형 <math>ABC</math>]]
[[수학]]에서 '''구면 삼각형'''(球面三角形, {{llang|en|spherical triangle}})은 [[구 (기하학)|구]] 위의 세 [[대원호]]에 둘러싸인 구면 위 도형이다. [[유클리드 기하학]]의 [[평면 삼각형]]의 [[구면 기하학]] 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 '''구면 삼각법'''(球面三角法, {{llang|en|spherical trigonometry}})이라고 한다.

== 정의 ==
원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) [[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2\subseteq\mathbb R^3</math>의 '''볼록 구면 다각형'''(-球面多角形, {{llang|en|convex spherical polygon}})은 다음을 만족시키는 부분 집합 <math>P\subseteq\mathbb S^2</math>이다.<ref name="Berger">{{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry II
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-17015-0
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93816-3
}}</ref>
* <math>P</math>는 <math>\mathbb S^2</math>의 [[반구]] <math>H_1,\dots,H_n\subseteq\mathbb S^2</math>의 유한 교집합 <math>\textstyle P=\bigcap_{k=1}^nH_k</math>으로 나타낼 수 있다.
* <math>\operatorname{int}P\ne\varnothing</math>. 즉, <math>P</math>는 [[내부점]]을 가진다.
* <math>P\cap(-P)=\varnothing</math>. 즉, <math>P</math>는 [[대척점]]쌍을 포함하지 않는다.
각 반구 <math>H_k</math>에 대응하는 <math>\mathbb R^3</math>의 [[반공간]] <math>\widehat{H_k}</math>들의 교집합 <math>\textstyle\widehat P=\bigcap_{k=1}^n\widehat{H_k}</math>은 [[볼록추]]를 이루는데, 이 <math>\widehat P</math>의 모서리와 <math>\mathbb S^2</math>의 교점을 <math>P</math>의 '''꼭짓점'''(-點, {{llang|en|vertex}})이라고 하며, <math>\widehat P</math>의 면과 <math>\mathbb S^2</math>의 교선을 <math>P</math>의 '''변'''(邊, {{llang|en|edge}})이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 <math>P</math>를 '''(볼록) 구면 삼각형'''((-)球面三角形, {{llang|en|(convex) spherical triangle}})이라고 한다.

== 성질 ==
구 <math>\mathbb S^2</math> 위의 세 점 <math>A,B,C\in\mathbb S^2</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]다.
* <math>A,B,C\in\mathbb S^2</math>는 구면 삼각형을 이룬다.
* <math>\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\in\mathbb R^3</math>은 <math>\mathbb R</math>-[[선형 독립]]이다.

=== 변의 길이와 각의 크기 ===
구면 삼각형 <math>ABC</math>의 변의 길이 <math>a,b,c</math>는 두 꼭짓점 사이에 놓인 [[대원호]]의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.
:<math>a=BC=\arccos(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})</math>
:<math>b=AC=\arccos(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})</math>
:<math>c=AB=\arccos(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})</math>

구면 삼각형 <math>ABC</math>의 각의 크기 <math>A,B,C</math>는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 [[접선]] 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 [[이면각]]과 같다.
:<math>A=\arccos\frac{(
\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OA})\cdot(
\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA})}{|
\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OA}|\cdot|
\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OA}|}=
\arccos\frac{\mathbf n_{OAB}\cdot\mathbf n_{OAC}}{|\mathbf n_{OAB}||\mathbf n_{OAC}|}</math>
:<math>B=\arccos\frac{(
\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OB})\cdot(
\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB})}{|
\overrightarrow{OC}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})\overrightarrow{OB}|\cdot|
\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OB}|}=
\arccos\frac{\mathbf n_{OBC}\cdot\mathbf n_{OBA}}{|\mathbf n_{OBC}|\cdot|\mathbf n_{OBA}|}</math>
:<math>C=\arccos\frac{(
\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC})\cdot(
\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC})}{|
\overrightarrow{OA}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})\overrightarrow{OC}|\cdot|
\overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OC}|}=
\arccos\frac{\mathbf n_{OCA}\cdot\mathbf n_{OCB}}{|\mathbf n_{OCA}|\cdot|\mathbf n_{OCB}|}</math>

=== 극삼각형 ===
구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 '''극'''(極, {{llang|en|pole}})은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.

구면 삼각형 <math>ABC</math>가 주어졌다고 하자. <math>A'</math>는 <math>BC</math>의 대원의 두 극 가운데 <math>A</math>와 같은 쪽에 있는 하나이며, <math>B'</math>는 <math>CA</math>의 대원의 두 극 가운데 <math>B</math>와 같은 쪽에 놓인 하나이며, <math>C'</math>는 <math>AB</math>의 대원의 두 극 가운데 <math>C</math>와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면 <math>A'B'C'</math>는 구면 삼각형을 이루며, 이를 <math>ABC</math>의 '''극삼각형'''(極三角形, {{llang|en|polar triangle}})이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.
:<math>0=\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OC}
=\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{OC}
=\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{OB}</math>
:<math>\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{OA}>0</math>
:<math>\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{OB}>0</math>
:<math>\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{OC}>0</math>

극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형 <math>ABC</math>의 극삼각형이 <math>A'B'C'</math>라고 하자. 그렇다면, <math>B',C'</math>가 각각 변 <math>AC,AB</math>의 극이므로, <math>AB',AC'</math>는 모두 4분원호다. 따라서, <math>A</math>는 변 <math>B'C'</math>의 극이다. 또한, <math>A,A'</math>가 <math>BC</math>의 같은 쪽에 있으므로, <math>AA'</math>는 4분원호보다 작으며, 따라서 <math>A,A'</math>는 <math>B'C'</math>의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

구면 삼각형 <math>ABC</math>의 극삼각형 <math>A'B'C'</math>의 변 <math>a',b',c'</math> 및 각 <math>A',B',C'</math>은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다.
:<math>a+A'=b+B'=c+C'=a'+A=b'+B=c'+C=\pi</math>
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. <math>B'C'</math>와 <math>AB</math>의 교점을 <math>D</math>, <math>B'C'</math>와 <math>AC</math>의 교점을 <math>E</math>라고 하자. 그렇다면, 각 <math>A</math>는 대원호 <math>DE</math>와 같다. 또한, <math>B'E,C'D</math>는 모두 4분원호이므로, <math>B'C'+A</math>는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

=== 사인 법칙과 코사인 법칙 ===
{{본문|구면 사인 법칙|구면 코사인 법칙}}
구면 삼각형에 대한 [[구면 사인 법칙|사인 법칙]]은 다음과 같다.
:<math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}</math>

구면 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 제1 [[구면 코사인 법칙|코사인 법칙]]은 다음과 같다.
:<math>\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A</math>
:<math>\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B</math>
:<math>\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C</math>

구면 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 제2 [[구면 코사인 법칙|코사인 법칙]]은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.
:<math>\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a</math>
:<math>\cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b</math>
:<math>\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c</math>

다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.
:<math>\cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C</math>
:<math>\cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C</math>
:<math>\cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A</math>
:<math>\cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A</math>
:<math>\cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B</math>
:<math>\cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B</math>

=== 기타 항등식 ===
==== 반각과 반변 ====
구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\sin\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}</math>
:<math>\cos\frac A2=\sqrt{\frac{\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}</math>
:<math>\tan\frac A2=\sqrt{\frac{\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}</math>
:<math>\sin\frac a2=\sqrt{-\frac{\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}</math>
:<math>\cos\frac a2=\sqrt{\frac{\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}</math>
:<math>\tan\frac a2=\sqrt{-\frac{\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}</math>
여기서 <math>2S=A+B+C</math>이다.

이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\sin A=
\frac{2\sqrt{\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}{\sin b\sin c}=
\frac{\sqrt{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin b\sin c}</math>
:<math>\sin a=
\frac{2\sqrt{-\cos S\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}{\sin B\sin C}=
\frac{\sqrt{1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C-2\cos A\cos B\cos C}}{\sin B\sin C}</math>

==== 네이피어 동류식 ====
다음과 같은 4개의 항등식을 '''네이피어 동류식'''(-同類式, {{llang|en|Napier's analogies}})이라고 한다.
:<math>\tan\frac{A+B}2=\frac{\cos\frac{a-b}2}{\cos\frac{a+b}2}\cot\frac C2</math>
:<math>\tan\frac{A-B}2=\frac{\sin\frac{a-b}2}{\sin\frac{a+b}2}\cot\frac C2</math>
:<math>\tan\frac{a+b}2=\frac{\cos\frac{a-b}2}{\cos\frac{a+b}2}\tan\frac c2</math>
:<math>\tan\frac{a-b}2=\frac{\sin\frac{a-b}2}{\sin\frac{a+b}2}\tan\frac c2</math>

==== 들랑브르 동류식 ====
다음과 같은 4개의 항등식을 '''들랑브르 동류식'''(-同類式, {{llang|en|Delambre's analogies}}) 또는 '''가우스 정리'''(-定理, {{llang|en|Gauss's theorems}})이라고 한다.
:<math>\cos\frac{A+B}2\cos\frac c2=\cos\frac{a+b}2\sin\frac C2</math>
:<math>\cos\frac{A-B}2\sin\frac c2=\sin\frac{a+b}2\sin\frac C2</math>
:<math>\sin\frac{A+B}2\cos\frac c2=\cos\frac{a-b}2\cos\frac C2</math>
:<math>\sin\frac{A-B}2\sin\frac c2=\sin\frac{a-b}2\cos\frac C2</math>

=== 넓이와 구과량 ===
구면 다각형 <math>A_1A_2\cdots A_n</math>의 '''구과량'''(球過量, {{llang|en|spherical excess}}) 또는 '''구면 과잉'''(球面過剩)은 다음과 같다.
:<math>E=\sum_{k=1}^nA_k-(n-2)\pi</math>
특히, 구면 삼각형 <math>ABC</math>의 구과량은 다음과 같다.
:<math>E=A+B+C-\pi</math>

구면 다각형 <math>A_1\cdots A_n</math>의 넓이는 그 구과량과 같다.
:<math>\operatorname{area}(P)=E=\sum_{k=1}^nA_k-(n-2)\pi</math>
특히, 구면 삼각형 <math>ABC</math>의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다.
:<math>\operatorname{area}(T)=E=A+B+C-\pi</math>
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다. <math>a</math>변이 놓인 대원호를 경계로 하며 <math>A</math>를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형 <math>ABC</math>, 둘째는 각 <math>B</math>만큼 벌어진 [[구면 이각형]]에서 구면 삼각형 <math>ABC</math>를 제외한 부분, 셋째는 각 <math>C</math>만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 <math>ABC</math>를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각 <math>A</math>만큼 벌어진 구면 이각형에서 <math>A,B,C</math>의 [[대척점]] <math>-A,-B,-C</math>이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가 <math>4\pi</math>이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 <math>-A,-B,-C</math>의 넓이가 <math>ABC</math>와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다.
:<math>\begin{align}2\pi
&=\operatorname{area}(T)+(2A-\operatorname{area}(-T))+(2B-\operatorname{area}(T))+(2C-\operatorname{area}(T))\\
&=2A+2B+2C-2\operatorname{area}(T)\end{align}</math>

다음 항등식은 [[시몽 륄리에]]가 제시하였다.
:<math>\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac s2\tan\frac{s-a}2\tan\frac{s-b}2\tan\frac{s-c}2}</math>
여기서 <math>2s=a+b+c</math>이다.

== 응용 ==
구면 삼각법은 [[천문학]], [[측지학]] 및 [[항법]]에서 계산에 매우 중요하다.

== 역사 ==
그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 [[존 네이피어]](John Napier) , [[장 밥티스트 조제프 델람브레]](Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다.<ref name="Todhunter">{{서적 인용
|url=http://www.gutenberg.org/ebooks/19770
|성=Todhunter
|이름=I.
|제목=Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools
|언어=en
|판=5
|출판사=Macmillan and Co.
|위치=London
|날짜=1886
}}</ref> 이 책은 현재 웹에서 쉽게 [[퍼블릭 도메인]]인 [[구텐베르크 프로젝트]]로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[르장드르의 구면삼각형 정리]]
* [[가우스-보네 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SphericalTriangle|title=Spherical triangle}}
{{전거 통제}}

[[분류:구면삼각법]]