구면 모형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[통계역학]]에서 '''구면 모형'''(球面模型, {{llang|en|spherical model}})은 [[강자성]]을 나타내는 간단한 격자 모형이다.<ref name="ES">{{서적 인용|제목=Exactly solved models in statistical mechanics |url=https://archive.org/details/exactlysolvedmod0000baxt | 이름=Rodney J.| 성=Baxter | 출판사=Academic Press | 날짜=1982 | isbn= 0-12-083180-5 | 언어=en}}</ref>{{rp|Chapter 5}}<ref name="BK"/><ref>{{저널 인용|제목=The spherical model on graphs | 이름=Davide | 성=Cassi | 이름2=Linda | 성2=Fabbian | 저널=Journal of Physics A | 권=32 | 날짜=1999 | 쪽=L93–L98 | url = http://www.fis.unipr.it/stat/PAPERS/PRStPh9995.pdf | doi=10.1088/0305-4470/32/8/001 | 언어=en }}</ref> [[이징 모형]]과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 [[상전이]]를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.

== 정의 ==
'''구면 모형'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[유한 그래프]] <math>\Gamma</math>
* [[함수]] <math>h\colon\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)\to \mathbb R</math>, <math>i \mapsto h_i</math>. 이는 외부 [[자기장]]을 뜻한다.
* [[함수]] <math>\beta\colon \mathsf E(\Gamma)\to\mathbb R</math>, <math>ij \mapsto \beta_{ij}</math>. 이는 온도의 역수를 뜻한다.
이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 [[제곱평균제곱근]]은 1이어야 한다.
:<math>\sigma \colon \operatorname{\mathsf V}(\Gamma)\to\mathbb R</math>
:<math>\sum_{i\in\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)} \sigma_i^2 = |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|</math>
즉, [[짜임새 공간]]은 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)}</math> 속의, 반지름 <math>\sqrt{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|}</math>의 [[초구]]이다.

구형 모형의 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.
:<math>Z_\Gamma(\beta,h) = \int_{\mathbb R^{\mathsf V(\Gamma)}} \mathrm d^{|\mathsf V(\Gamma)|}\sigma \,\exp\left(
\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j
+\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i
\right)</math>

이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, [[실수 힐베르트 공간]]
:<math>\mathcal H = \mathbb R^{\mathsf V(\Gamma)}</math>
위의 연산자
:<math>M \colon \mathcal H\to\mathcal H</math>
:<math>
\langle i|M|j\rangle
=-\beta_{ij} \langle i|\mathsf A_\Gamma|j\rangle
</math>
를 정의하자. 여기서 <math>\mathsf A_\Gamma</math>는 <math>\Gamma</math>의 [[인접 행렬]]이다.
:<Math>\langle i|\mathsf A_\Gamma|j\rangle = \begin{cases}
1 & ij \in \operatorname E(\Gamma) \\
0 & ij \not\in\operatorname E(\Gamma)
\end{cases}</math>
즉, 만약 <math>\beta</math>가 [[상수 함수]]라면 <math>M = -\beta \mathsf A_\Gamma</math>이다.

그렇다면, [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]를 다음과 같이 적을 수 있다.
:<math>
\begin{aligned}
Z_\Gamma(\beta,h) &= \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)}} \mathrm D\sigma\int_{z+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz
\;\exp\left(-\langle \sigma|(M+z)|\sigma\rangle + \langle h|\sigma\rangle + z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|\right)\\
\end{aligned}
</math>

여기서 [[디랙 델타]]를
:<math>\delta(\langle\sigma|\sigma\rangle - |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|) = \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;\exp(-z\langle \sigma|\sigma\rangle + z |\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|)\qquad(a\gg1)</math>
로 표현하였다. 여기서, <math>a</math>는 <math>M + z</math>의 모든 [[고윳값]]의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다.

즉, 이 경우
:<math>Z_\Gamma(\beta,h) = \frac1{2\pi} \int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;Z_\Gamma(\beta,h,z)\exp\left(z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|+\frac14\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle\right)\qquad(a\gg1)</math>
:<math>Z_\Gamma(\beta,h,z) = \int_{\mathbb R^{\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)}} \mathrm D\sigma\;\exp\left(-\langle \sigma|(z+M)|\sigma\rangle
\right)
= \frac{\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2}}{\sqrt{\det(z+M)}}
</math>
이 된다.

즉,
:<math>
\begin{aligned}
Z_\Gamma(\beta,h)
&= \frac12\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2-1}
\int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\,
\exp\left(z|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|+\frac14\langle h|(z+M)^{-1}|h\rangle\right)
\det(z+M)^{-1/2}\qquad(a\gg1)\\
&=
\frac12\pi^{|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|/2-1}
\int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\,
\prod_{\lambda\in\operatorname{Spec}M}
\frac{\exp(z+\langle v_\lambda|h\rangle^2/(z+\lambda)^{-1})
}{\sqrt{z+ \lambda}}
\end{aligned}
</math>
이다. 여기서 <math>v_\lambda</math>는 <Math>M</math>의 [[고유 벡터]]로 구성된 [[정규 직교 기저]]이다.

== 성질 ==
=== 최급강하법 근사 ===
그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 [[최급강하법]]을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자.
:<math>Z = \frac12 \pi^{|\mathsf V(\Gamma)|/2-1}
\int_{a+\mathrm i\mathbb R}\mathrm dz\;
\exp\left(
|\mathsf V(\Gamma)|
S_\Gamma(z)
\right)</math>
:<math>S(z)
=
z + \frac1{|\mathsf V(\Gamma)|}\frac14\langle h|(z+\beta\mathsf A_\Gamma)^{-1}|h\rangle
- \frac12 {\ln \det(z+M)}{|\mathsf V(\Gamma)|}
</math>
이다. 여기서
:<math>\ln \det(z+M) \propto |\mathsf V(\Gamma)|</math>
:<math>\langle h | (z + M) | h\rangle \propto |\mathsf V(\Gamma)|</math>
라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 <math>\Gamma = (\mathsf C_L)^{\square d}</math>가 [[원환면]] 그래프(<math>d</math>개의 순환 그래프들의 [[그래프 데카르트 곱]])이며, [[자기장]] <math>h</math> 또한 [[상수 함수]]라면, 위 조건이 성립한다.)

그렇다면, <math>|\mathsf V(\Gamma)| \to \infty</math>인 극한에서,
:<math>\frac1{|\mathsf V(\Gamma)|}\ln Z_\Gamma(\beta,h) \approx \max_{z\in a+\mathrm i\mathbb R}S(z;\beta,h) + \frac12\ln\pi + o(1)</math>
가 된다.

=== 원환면 그래프 ===
<math>\Gamma=(\mathsf C_L)^{\square d}</math>가 크기 <math>L</math>의 [[순환 그래프]] <math>\mathsf C_L</math>의 <math>d</math>겹 [[그래프 데카르트 곱]]이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 <Math>d</math>차원 <math>L\times \dotsb \times L</math> 초입방체에 해당한다. 이 경우, <math>\Gamma</math>의 스펙트럼은 다음과 같은 [[중복집합]]이다.
:<math>
\operatorname{Spec}\Gamma = \left\{
2 \sum_{i=1}^d\cos \frac{2\pi k_i}L
\colon k_i \in \{0,1,\dotsc,L-1\}
\right\}
</math>
따라서 <math>\beta</math>가 [[상수 함수]]일 때, <math>L\to \infty</math> 극한에서, <math>\ln\det(z+M)</math>은 따라서 <math>[0,2\pi]^d</math> 위의 적분으로 근사될 수 있다.

이러한 그래프에서, [[상수 함수]] [[자기장]] <Math>h</math>는 <math>\Gamma</math>의 [[인접 행렬]]의 [[고유 벡터]]이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다.

이 경우, [[상태 방정식]]은 다음과 같다.<ref name="ES"/>{{rp|5.3.3}}
:<math>2(1-m^2) = \beta g'(h/2m+d)</math>
여기서
* <math>T = 1/\beta</math>는 온도이다.
* <math>m=\langle\sigma\rangle</math>은 <math>\sigma</math>의 평균값이다.
* <math>g(z)</math>는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 <math>\ln\det(z+\mathsf A_\Gamma)</math>의 적분 근사에서 유래한다.
:<math>g(z) = (2\pi)^{-d} \int_{[0,2\pi]^d} \mathrm d^dt\;\ln\left(
z - \sum_{i=1}^d\cos t_i\right)</math>
이 경우
:<math>g'(z) = \int_0^\infty \mathrm dt\,\exp(-tz)\mathsf J_0(\mathrm it)^d</math><ref name="ES"/>{{rp|(5.4.4)}}
가 된다. 여기서 <math>\mathsf J_0(-)</math>는 0차 [[베셀 함수]]이다.

이 경우
:<math>g'(d) \begin{cases}
= \infty & (0 < d \le 2) \\
< \infty & (2<d)
\end{cases}</math>
:<math>g''(d) \begin{cases}
= \infty & (0<d\le 4) \\
< \infty & (4<d)
\end{cases}</math> 
이다. 따라서,
* <math>d \le 2</math>일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다.<ref name="ES"/>{{rp|68, §5.5}} 즉, [[퀴리 온도]]가 0이다.
* <math>d>2</math>일 때 구면 모형은 [[1차 상전이]]를 갖는다. 즉, [[퀴리 온도]]가 (유한한) 양수이며, 그 역수는
:<math>\beta_0 = \frac12 g'(d)</math>
이다.<ref name="ES"/>{{rp|67, (5.5.1)}}

<math>d>2</math>일 때, 임계 지수들은 다음과 같다.
:<math>\alpha = \begin{cases}
-\frac{4-d}{d-2} & (2<d<4)\\
0 & (4<d)
\end{cases}</math><ref name="ES"/>{{rp|(5.6.7)}}
:<math>\beta = \frac12</math><ref name="ES"/>{{rp|(5.6.8)}}
:<math>\gamma = \begin{cases}
\frac2{d-2} & (2<d<4) \\
1 & (4<d)
\end{cases}</math><ref name="ES"/>{{rp|(5.6.11)}}
즉, 이 경우 임계 지수들이 <math>d</math>에 의존하게 된다.

=== 이징 모형과의 관계 ===
물리학적으로, 이는 [[이징 모형]]의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 <math>|\operatorname{\mathsf V}(\Gamma)|</math>차원 [[유클리드 공간]] 속의 [[초입방체]]의 <math>2N</math>개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.

== 역사 ==
[[파일:Mark Kac.jpg|thumb|right|마레크 카츠]]
1952년에 시어도어 벌린({{llang|en|Theodore H. Berlin}}, 1917-1963)과 마레크 카츠({{llang|pl|Marek Kac}}, 1914-1984)가 도입하였다.<ref name="BK">{{저널 인용|제목=The Spherical Model of a Ferromagnet|이름=Theodore H.|성=Berlin|이름2=Mark|성2=Kac | 저널=Physical Review | 권=86 | 쪽=821 | 날짜=1952-06-15 | doi=10.1103/PhysRev.86.821 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:격자 모형]]