구간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|구간 (신화)||가야 신화의 구간}}
[[파일:Interval0.png|섬네일|실수 구간 <math>(x,x+a)</math> (또는 <math>[x,x+a]</math>, <math>[x,x+a)</math>, <math>(x,x+a]</math>)]]

[[수학]]에서 '''구간'''(區間, {{llang|en|interval}})은 [[원순서 집합]]의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 [[집합]]이다. 특히, 표준적인 [[전순서]]를 갖춘 [[실수]]의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라
* '''열린구간'''(-區間{{llang|en|open interval}}) 또는 '''개구간'''(開區間)
* '''닫힌구간'''(-區間{{llang|en|closed interval}}) 또는 '''폐구간'''(閉區間)
* '''반열린구간'''(半-區間, {{llang|en|half-open interval}}) 또는 '''반닫힌구간'''(半-區間, {{llang|en|half-closed interval}}) 또는 '''반개구간'''(半開區間) 또는 '''반폐구간'''(半閉區間)
의 세 가지로 나뉜다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 두 원소 <math>a,b\in X</math>에 대하여,
:<math>a\lesssim b\not\lesssim a</math>
를 <math>a<b</math>로 표기하자.

=== 구간 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math><ref name="Vind">{{서적 인용
|성=Vind
|이름=Karl
|제목=Independence, additivity, uncertainty
|언어=en
|총서=Studies in Economic Theory
|권=14
|출판사=Springer
|위치=Berlin
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-41683-8
|doi=10.1007/978-3-540-24757-9
|zbl=1080.91001
}}</ref>{{rp|11, Definition 11}}의 두 원소 <math>a,b\in X</math>를 왼쪽·오른쪽 끝점으로 하는 '''열린구간'''과 '''닫힌구간''' 및 두 개의 '''반열린구간'''은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여 <math>a<b</math> 또는 <math>a\lesssim b</math>를 요구하기도 한다).
:<math>(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}</math>
:<math>[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}</math>
:<math>(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}</math>
:<math>[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}</math>

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 원소 <math>a\in X</math>를 왼쪽 끝점으로 하고, 오른쪽 끝점이 주어지지 않는 '''열린구간'''과 '''반열린구간'''은 각각 다음과 같다.
:<math>(a,\infty)=\{x\in X\colon a<x\}</math>
:<math>[a,\infty)=\{x\in X\colon a\lesssim x\}</math>

마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 원소 <math>b\in X</math>를 오른쪽 끝점으로 하고, 왼쪽 끝점이 주어지지 않는 '''열린구간'''과 '''반열린구간'''은 각각 다음과 같다.
:<math>(-\infty,b)=\{x\in X\colon x<b\}</math>
:<math>(-\infty,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}</math>

왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은 <math>X</math> 전체이다.
:<math>(-\infty,\infty)=X</math>

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에서, 한쪽 또는 양쪽 끝점이 주어지지 않는 구간은 새로운 [[최대 원소]]와 [[최소 원소]]를 추가하여 얻는 원순서 집합
:<math>X\sqcup\{-\infty,\infty\}</math>
:<math>\forall x\in X\colon-\infty<x<\infty</math>
의 두 원소를 두 끝점으로 하는 <math>X\sqcup\{-\infty,\infty\}</math>의 구간으로 여길 수 있다. 예를 들어, 모든 실수 구간은 두 [[확장된 실수]]를 끝점으로 한다.

=== 순서 볼록 집합 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>C\subseteq X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''순서 볼록 집합'''({{llang|en|order-convex set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>a,b\in C</math>에 대하여, <math>[a,b]\subseteq C</math>

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>이 주어졌다고 하자. <math>Y</math>에 포함되는 <math>X</math>의 순서 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 그 [[극대 원소]]를 <math>Y</math>의 '''순서 볼록 성분'''({{llang|en|order-convex component}})이라고 한다.<ref name="Heath">{{저널 인용
|성1=Heath
|이름1=R. W.
|성2=Lutzer
|이름2=David J.
|성3=Zenor
|이름3=P. L.
|제목=Monotonically normal spaces
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=178
|쪽=481–493
|날짜=1973
|issn=0002-9947
|doi=10.2307/1996713
|mr=0372826
|zbl=0269.54009
}}</ref>{{rp|Definition 5.1}}<ref name="Steen">{{저널 인용
|성=Steen
|이름=Lynn A.
|제목=A direct proof that a linearly ordered space is hereditarily collectionwise normal
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=24
|쪽=727-728
|날짜=1970
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2037311
|mr=0257985
|zbl=0189.53103
}}</ref>{{rp|727}} [[초른 보조정리]]에 따라, <math>Y</math>에 포함되는 <math>X</math>의 임의의 순서 볼록 집합은 항상 <math>Y</math>의 순서 볼록 성분에 포함되지만, 이러한 성분이 유일할 필요는 없다. 만약 <math>X</math>가 [[전순서 집합]]이라면, <math>Y</math>의 순서 볼록 성분들은 <math>Y</math>를 [[집합의 분할|분할]]한다. 즉, <math>C\subseteq Y</math>인 순서 볼록 집합 <math>C\subseteq X</math>를 포함하는 순서 볼록 성분은 유일하며, 이는 다음과 같다.
:<math>\{y\in Y\colon\exists c\in C\colon[\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}</math>

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[[실수선]] <math>\mathbb R</math>의 [[부분 집합]] <math>I\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>I</math>는 구간이다.
* <math>I</math>는 [[볼록 집합]]이다.
* <math>I</math>는 순서 볼록 집합이다.
* <math>I=\varnothing</math>이거나, <math>I</math>는 [[연결 공간]]이다.
* <math>I=\varnothing</math>이거나, <math>I</math>는 [[경로 연결 공간]]이다.
* <math>I=\varnothing</math>이거나, <math>I</math>는 [[호 연결 공간]]이다.

보다 일반적으로, [[선형 연속체]] <math>(L,\le)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|153, Theorem 24.1}}
* <math>S</math>는 구간이다.
* <math>S</math>는 순서 볼록 집합이다.
* <math>S=\varnothing</math>이거나, <math>L</math>에 [[순서 위상]]을 가했을 때 <math>S</math>는 [[연결 공간]]이다.

=== 폐포 ===
실수 구간의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 다음과 같다.<ref name="Tao">{{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis II
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=38
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1804-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1804-6
|lccn=2016940817
}}</ref>{{rp|214, Lemma 9.1.12}}
:<math>\operatorname{cl}(a,b)=\operatorname{cl}(a,b]=\operatorname{cl}[a,b)=\operatorname{cl}[a,b]=[a,b]</math>
:<math>\operatorname{cl}(a,+\infty)=\operatorname{cl}[a,+\infty)=[a,+\infty)</math>
:<math>\operatorname{cl}(-\infty,a)=\operatorname{cl}(-\infty,a]=(-\infty,a]</math>
:<math>\operatorname{cl}(-\infty,+\infty)=(-\infty,\infty)</math>

=== 볼록 부분 격자 ===
{{본문|볼록 부분 격자}}
[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 부분 격자이며, 순서 볼록 집합이다.
* <math>S=I\cap F</math>인 [[순서 아이디얼]] <math>I\subseteq L</math>과 [[필터 (수학)|필터]] <math>F\subseteq L</math>이 존재한다.

== 예 ==
단위 구간
:<math>[0,1]=\{x\in\mathbb R\colon 0\le x\le 1\}</math>
은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간
:<math>(0,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x>0\}</math>
은 모든 양의 실수들의 집합이다.

[[유리수]]의 [[전순서 집합]] <math>\mathbb Q</math>의 [[부분 집합]]
:<math>\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\}\subseteq\mathbb Q</math>
는 순서 볼록 집합이지만, (<math>\sqrt 2</math>가 [[무리수]]이므로) <math>\mathbb Q</math>의 구간이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[호 (기하학)]]
* [[부등식]]
* [[선분]]
* [[구간의 분할]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Interval and segment}}
* {{매스월드|id=Interval|제목=Interval}}
* {{nlab|id=interval|제목=Interval}}

[[분류:순서론]]
[[분류:실수 집합]]