교환 행렬 문서 원본 보기

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수학, 특히 [[선형 대수학]]에서 '''교환 행렬'''(Exchange matrix,역행 행렬 또는 표준 자기 순열이라고도 함)은 [[순열 행렬]]의 특별한 경우이고, 1의 값을갖는 원소는 [[반대각선|역 대각선]]상에 있고 다른 모든 원소는 0인 경우이다. 즉, [[항등행렬]]의 '행 반전'또는 '열 반전'버전이기도 하다.<ref>{{인용|title=Matrix Analysis|first1=Roger A.|last1=Horn|first2=Charles R.|last2=Johnson|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|year=2012|isbn=9781139788885|page=33|url=https://books.google.com/books?id=O7sgAwAAQBAJ&pg=PA33}}.</ref>


:<math>
J_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}  , \quad
 J_{3}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} ,
\quad J_{n}
=\begin{pmatrix}
  0      & 0      & \cdots & 0      & 0      & 1      \\
  0      & 0      & \cdots & 0      & 1      & 0      \\
  0      & 0      & \cdots & 1      & 0      & 0      \\
  \vdots & \vdots &        & \vdots & \vdots & \vdots \\
  0      & 1      & \cdots & 0      & 0      & 0      \\
  1      & 0      & \cdots & 0      & 0      & 0
\end{pmatrix}
</math>

==정의==
J 가 n × n 교환 행렬 인 경우, J 의 원소들은 다음과 같이 정의된다.
:<math>J_{i,j} = \begin{cases}
1, & j = n - i + 1 \\
0, & j \ne n - i + 1\\
\end{cases}</math>
==성질==
* J<sup>T</sup> = J
* J<sup>n</sup> = I 은 짝수 n 일때,  홀수 n에 대해서는 J<sup>n</sup> = J , 여기서 n 은 임의의 정수이다.

따라서 J는 [[거듭 행렬]](involutory matrix)이다. 즉, J<sup>-1</sup> = J이다.
<!-- [[거듭 행렬]](involutory matrix)이라고하는 행렬은 거듭제곱(자승)했을 때 교번하여 역행렬과 자기자신이 번갈아 되는 행렬이다.<ref>https://en.wiktionary.org/wiki/involutory</ref>  -->
* J 의 조작은 n 이 홀수이면 1 이고, n 이 짝수 이면 0이다.
==관련 행렬==
* 교환 행렬은 가장 간단한 [[반대각 행렬|반대각선 행렬]]이다.
* 조건 AJ = JA를 만족하는 임의의 행렬 A는 [[중심대칭행렬]] 이라고한다.
* 조건 AJ = JA<sup>T</sup>를 만족하는 임의의 행렬 A는 [[반대각 대칭행렬]]이라고 말해진다.

== 같이 보기 ==
* [[역행렬]]
* [[단위행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Involutory.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/InvolutoryMatrix.html 매스월드]

[[분류:행렬]]