교환 연산자 문서 원본 보기

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[[양자역학]]에서 '''교환 연산자'''({{lang|en|exchange operator}}) 또는 '''바꿈 연산자'''란 두 동일한 입자의 라벨을 바꾸는 연산자이다. 예를 들어, 두 개의 동일한 입자를 라벨 1,2를 붙여 구별하고 이 입자로 기술되는 [[계 (물리학)|계]]의 파동함수를 u<sub>E<sub>σ<sub>1</sub>σ<sub>2</sub></sub></sub>(1,2)로 쓰자. 그리고 이에 대한 교환연산자를 P<sub>1,2</sub>라 쓰면 이 연산자의 역할은 다음을 말한다.
:<math>P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) </math>

== 운동상수 ==
[[퍼텐셜]]이 [[스핀]]과 관련이 없는 경우, 교환연산자는 [[운동상수]]이다. 이를 확인하기 위해 간단한 두 개의 동일한 입자로 이루어진 계에서 [[해밀토니안]] 연산자와 교환연산자에 교환법칙이 성립하는지 알아보자.

먼저, [[스핀]]과 [[퍼텐셜]]이 관련이 없는 경우, 해밀토니언과 [[퍼텐셜]]은 아래와 같이 쓸 수 있다.
:<math>H= \frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+V(x_1 ,x_2)</math>
:<math>V(x_1 ,x_2) = V(x_2 ,x_1) \;</math>
위 해밀토니언을 입자의 라벨에 대한 함수로 만들어
:<math>H=H(1,2)\;</math>
라 쓸 수 있다. 그러면, 퍼텐셜이 입자의 교환에 대해 대칭이기 때문에 아래와 같이 해밀토니안 또한 대칭이된다.
:<math>H(1,2)=H(2,1)\;</math>
이 해밀토니언을 [[파동함수]]에 작용시키면
:<math>H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)</math>
:<math>H(2,1)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)</math>
이다. 그리고 해밀토니언의 대칭성에 의해
:<math>H(2,1)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)</math>
:<math>H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)</math>
을 얻는다. 위의 교환 연산자의 역할을 다시 쓰면,
:<math>P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) </math>
이다. 이제 두 연산자에 대해 [[교환법칙]]이 성립하는지 알아보기 위해 두 연산자를 동시에 [[파동 함수]]에 작용시켜보자.
:<math>\begin{align}
H(1,2)P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
   = & H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)
\\ = & Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)
\\ = & EP_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
\\ = & P_{1,2}Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
\\ = & P_{1,2}H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)
\end{align}</math>
즉, 두 연산자 사이에 교환법칙이 성립하므로,
:<math>[H,P_{1,2}] = 0\;</math>
이다. 따라서, 교환연산자는 이 경우 [[운동상수]]가 된다.
== 고윳값과 고유상태 ==
[[반전성]]과 유사하게 교환연산자도 두 번 연속으로 연산을 하게 되면, 원래의 상태로 돌아오게 된다.
:<math>P_{1,2}P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)=u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)</math>
따라서 P<sub>1,2</sub>=1 이므로 [[고윳값]]은 ±1 이 돤다.

[[고유상태]] 또한 [[반전성]]처럼 [[우함수]]와 [[기함수]]가 [[고유상태]]인 것처럼 +1인 경우 대칭조합된 파동함수가, -1인 경우 반대칭조합된 파동함수가 고유상태가 된다.
:고윳값 +1 : <math>\psi^{(S)} = \frac{1}{N_{S}} [ \psi(1,2) + \psi(2,1)]</math>
:고윳값 -1 : <math>\psi^{(A)} = \frac{1}{N_{A}} [ \psi(1,2) - \psi(2,1)]</math>
여기서 각 N들은 [[규격화상수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[반전성]]
* [[파울리 배타 원리]]

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:양자화학]]