교환자 부분군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서, 주어진 군의 '''교환자 부분군'''(交換子部分群, {{llang|en|commutator subgroup}})은 [[교환자]]들로 생성되는 [[부분군]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''교환자 부분군''' <math>G^{(1)}</math>은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 [[부분군]]이다.
:<math>[g_1,h_1][g_2,h_2][g_3,h_3]\dots[g_n,h_n]\in G^{(1)}\subset G</math>
:<math>g_1,g_2,\dots,g_n,h_1,h_2,\dots,h_n\in G</math>
여기서
:<math>[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh</math>
는 군의 [[교환자]]이다. 교환자 부분군은 항상 [[정규 부분군]]이다.

=== 유도열 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''''n''차 유도 부분군'''(''n''次誘導部分群, {{llang|en|''n''th derived subgroup}}) <math>G^{(n)}</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}</math>
즉, 교환자 부분군을 ''n''번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 [[정규 부분군]]들의 열이 존재한다.
:<math>G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright\cdots</math>
이를 '''유도열'''(誘導列, {{llang|en|derived series}})이라고 한다.

유도열을 임의의 [[순서수]]에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.
* <math>G^{(0)}=G</math>
* [[따름 순서수]] <math>\alpha+1</math>에 대하여,
*:<math>G^{(\alpha+1)}=(G^{(\alpha)})^{(1)}</math>
* [[극한 순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여,
*:<math>G^{(\alpha)}=\bigcap_{\beta<\alpha}G^{(\beta)}</math>
이를 '''초한 유도열'''(超限誘導列, {{llang|en|transfinite derived series}})이라고 한다.

유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 [[모임 (집합론)|모임]]을 정의할 수 있다.
* 교환자 부분군이 [[자명군]]인 군을 '''[[아벨 군]]'''이라 한다.
* 교환자 부분군이 스스로인 군을 '''[[완전군]]'''이라고 한다.
* 어떤 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>G^{(n)}=1</math>인 군 <math>G</math>를 '''[[가해군]]'''이라고 한다.
* 어떤 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여 <math>G^{(\alpha)}=1</math>인 군 <math>G</math>를 '''준 아벨 군'''({{llang|en|hypo-Abelian group}})이라고 한다.
정의에 따라
:[[아벨 군]] ⊊ [[가해군]] ⊊ 준 아벨 군
임을 알 수 있다.

=== 아벨화 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 주어졌을 때, 교환자 부분군 <math>G^{(1)}</math>은 그 [[정규 부분군]]이며, 이에 대한 [[몫군]]
:<math>G^{\operatorname{ab}}=G/G^{(1)}</math>
은 [[아벨 군]]을 이룬다. 이를 '''아벨화'''(Abel化, {{llang|en|abelianization}})라고 한다. [[범주론]]적으로 이는 군과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서 [[아벨 군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다.
:<math>(-)^{\operatorname{ab}}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Ab}</math>
[[아벨 군]]은 군의 일종이므로, 포함 함자
:<math>I\colon\operatorname{Ab}\to\operatorname{Grp}</math>
가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]이다.
:<math>(-)^{\operatorname{ab}}\dashv I</math>

[[호몰로지 대수학]]에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 [[군 호몰로지]]
:<math>G^{\operatorname{ab}}=\operatorname H_1(G;\mathbb Z)</math>
와 같다.

== 예 ==
일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! ''G'' !! ''G''<sup>(1)</sup>
|-
| [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>S_n</math> || [[교대군]] <math>A_n\subset S_n</math>
|-
| [[교대군]] <math>A_4</math> || [[클라인 4원군]] <math>(\mathbb Z/2)^2</math>
|-
| [[사원수군]] <math>Q</math> || <math>\operatorname Z(Q)=\{\pm1\}\cong\mathbb Z/2</math>
|-
| 크기 8의 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}_4</math> || <math>\operatorname Z(\operatorname{Dih}_4)\cong \mathbb Z/2</math>
|}

[[대수적 위상수학]]에서, [[경로 연결 공간]] <math>X</math>의 [[기본군]] <math>\pi_1(X)</math>의 아벨화는 정수 계수 1차 [[특이 호몰로지]] <math>\operatorname H_1(X;\mathbb Z)</math>이다. 이는 [[후레비치 준동형]]의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 [[후레비치 준동형]]의 [[핵 (수학)|핵]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[멱영군]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last = Dummit | first = David S. | 공저자 = Richard M. Foote | title = Abstract Algebra | publisher = John Wiley & Sons | year = 2004 | edition = 3판 | isbn = 0-471-43334-9 | oclc = 248917264}}
* {{서적 인용 | last = Lang | first = Serge | authorlink = 서지 랭 | title = Algebra | publisher = Springer | series = Graduate Texts in Mathematics | 날짜 = 2002 | isbn = 0-387-95385-X}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Commutator subgroup}}
* {{eom|title=Lie group, derived}}

[[분류:군론]]