교환자 (환론) 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''교환자'''(交換子, {{llang|en|commutator}})와 '''반교환자'''(反交換子, {{llang|en|anticommutator}})는 두 원소 사이의 (반)[[교환 법칙]]이 실패하는 정도를 측정하는 [[이항 연산]]이다. 교환자의 기호는 <math>[-,-]</math>이며, 반교환자의 기호는 <math>\{-,-\}</math>이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 두 원소 <math>a,b\in R</math>가 주어졌다고 하자. 그 '''교환자'''는 다음과 같다.
:<math>[ a,b ] = ab - ba\in R</math>
그 '''반교환자'''는 다음과 같다.
:<math>\{ a,b \} = ab + ba\in R</math>
만약 <math>R</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신
:<math>[a,b]_\pm=ab\pm ba</math>
가 사용되기도 한다.

=== 등급 대수 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[자연수]] [[등급 대수]]
:<math>A=\bigoplus_{i\in\mathbb N}A_i</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 '''등급 교환자'''(等級交換子, {{llang|en|graded commutator}})를 정의할 수 있다.
:<math>[a,b]_{\text{gr}}=ab - (-1)^{\deg a\deg b}ba</math>
이 연산은 간혹 대신 <math>[-,-\}</math>로 표기되기도 한다.

== 성질 ==
교환자는 다음과 같은 성질을 가진다.

정의에 따라, 임의의 환 <math>R</math>의 두 원소 <math>r,s\in R</math>에 대하여, <math>rs=sr</math>가 성립할 [[필요 충분 조건]]은 <math>[r,s]=0</math>인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소 <Math>r,s\in R</math>에 대하여, <math>rs=-sr</math>가 성립할 [[필요 충분 조건]]은 <math>\{r,s\}=0</math>인 것이다.

=== 선형성 ===
환 <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>R</math> 위의 교환자와 반교환자는 <math>K</math>-겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 <math>K</math>-[[가군 준동형]]을 정의한다.
:<math>[,]\colon R\otimes_KR\to R</math>
:<math>\{,\}\colon R\otimes_KR\to R</math>
특히, 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>K</math>-[[가군 준동형]]
:<math>[a,-]\colon R\to R</math>
:<math>\{a,-\}\colon R\to R</math>
이 존재한다. 특히, <math>[a,-]</math>의 경우 이는 교환자로 정의되는 [[리 대수]] 구조의 [[딸림표현]]이다.

=== 리 대수 구조 ===
교환자는 [[리 대수]]의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
* <math>[r,r] = 0\qquad\forall r\in R</math>
* <math>[r,s] = -[B,A]\qquad\forall r,s\in R</math>
* ([[야코비 항등식]]) <math>[r,[s,t]] + [s,[t,r]] + [t,[r,s]] = 0\qquad\forall r,s\in R</math>
이에 따라, [[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>K</math>-[[결합 대수]]가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 <math>K</math>-[[리 대수]]를 이룬다.

반대로, 임의의 [[리 대수]]가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 [[보편 포락 대수]]의 교환자로 표현된다.

=== 미분 대수 구조 ===
교환자는 [[미분 대수]]의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
* ([[곱 규칙]]) <math> [r,st] = [r,s]t + s[r,t]\qquad\forall r,s,t\in R</math>
* ([[곱 규칙]]) <math> [rs,t] = r[s,t] + [r,t]s\qquad\forall r,s,t\in R</math>
이에 따라, 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>[r,-]</math> (또는 <math>[-,r]</math>)를 부여하면 <math>R</math>는 [[미분 대수]]를 이룬다.

=== 기타 항등식 ===
이 밖에도 다음 항등식이 성립한다.
* <math> [r,st] = [rs,t] + [ts,r]\qquad\forall r,s,t\in R</math>
* <math> [rst,u] = rs[t,u] + r[s,u]t + [r,u]st\qquad\forall r,s,t,u\in R</math>
* <math> [[[r,s],t],u] + [[[s,t],u],r] + [[[t, u], r], s] + [[[u, r], s], t] = [[r, t], [s, u]]\qquad\forall r,s,t,u\in R</math>

=== 작용소의 경우 ===
[[힐베르트 공간]] 위의 [[유계 작용소]]들의 환에서는 다음과 같은 [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]이 성립한다.
:<math> \exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots</math>

== 응용 ==
[[힐베르트 공간]]에서의 두 [[연산자]]에 대한 교환자는 [[양자역학]]에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 [[관측가능량]]이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. [[불확정성 원리]]는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다.

== 참고 문헌 ==
* Griffiths, David J. (2004), ''Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.)'', Prentice Hall, {{ISBN|0-13-805326-X}}
* Liboff, Richard L. (2002), ''Introductory Quantum Mechanics'', Addison-Wesley, {{ISBN|0-8053-8714-5}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Commutator|title=Commutator}}
* {{매스월드|id=Anticommutator|title=Anticommutator}}
* {{nlab|id=commutator|title=Commutator}}
* {{nlab|id=anti-commutator|title=Anti-commutator}}
* {{nlab|id=graded commutator|title=Graded commutator}}

[[분류:환론]]