교차수 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|그래프 교차수|대수기하학의 교차수|[[그래프 이론]]의 교차수}}
[[대수기하학]]에서 '''교차수'''(交叉數, {{llang|en|intersection number}})는 서로 다른 부분 대수다양체가 만나는 수를 중복도를 고려하여 센 것이다. 중복도를 적절히 고려해야지만 [[베주 정리]] 등이 성립하게 된다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 비특이 준사영 [[대수다양체]]라고 하며, <math>\dim_KX=n</math>이라고 하고, <math>x\in X</math>라고 하자. <math>Z_1,\dots,Z_n\subset X</math>가 <math>X</math>의 <math>n</math>개의 초곡면([[여차원]]이 1인 부분 대수 다양체)들이며, 이들이 <math>x</math> 근처에서 국소 방정식
:<math>f_i(t_1,\dots,t_n)=0\qquad(i=1,\dots,n)</math>
으로 정의된다고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* <math>x\in\bigcap_{i=1}^nZ_i</math>. 즉, <math>f_i(x)=0\qquad(i=1,\dots,n)</math>이다.
* <math>f_i</math>는 <math>x</math>에서 특이점을 갖지 않는다.
* ('''일반 위치 조건''' {{llang|en|general position}}) <math>\dim_x\bigcap_{i=1}^nZ_i=0</math>

이 경우, <math>x</math>에서의 <math>\{Z_i\}_{i=1,\dots,n}</math>의 '''교차수'''는 다음과 같다.
:<math>(Z_1,\dots,Z_n)_x=\dim_K\mathcal O_{X,x}/(f_1,\dots,f_n)</math>
여기서 <math>\mathcal O_{X,x}</math>는 <math>X</math>의 구조층의 <math>x</math>에서의 [[줄기 (수학)|줄기]]인 [[국소환]]이며, <math>(f_1,\dots,f_n)</math>은 이들 다항식으로 생성되는 <math>\mathcal O_{X,x}</math>의 [[아이디얼]]이다. 이 아이디얼에 대한 [[몫환]]은 <math>K</math>-[[벡터 공간]]을 이루며, <math>\dim_K</math>는 <math>K</math>-벡터 공간으로서의 차원이다.

이제, 일반 위치에 있는 <math>Z_i</math>들의 '''교차수'''는 각 점에서의 교차수들의 합이다.
:<math>(Z_1 \cdots, Z_n) = \sum_{x \in \bigcap_i Z_i} (Z_1 \cdots Z_n)_x </math>
이는 유한함을 보일 수 있다.

[[효과적 인자]]들은 초곡면들의 형식적 [[선형 결합]]이므로, 일반 위치에 있는 효과적 인자의 교차수는 (일반 위치의) 초곡면들의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의  [[인자 (대수기하학)|인자]]는 두 효과적 인자의 차로 나타낼 수 있으므로, 일반 위치에 있는 인자들의 교차수는 효과적 인자의 교차수를 선형으로 확대하여 정의한다. 임의의 인자들의 집합은 [[저우 움직임 보조정리]]를 사용하여, [[유리 동치]]인 일반 위치 인자로 대체할 수 있으므로, 이에 대하여 교차수를 정의할 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Intersection index (in algebraic geometry)}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]