교집합 문서 원본 보기

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[[파일:SetIntersection.svg|섬네일|집합 ''A''와 ''B''의 교집합을 표현한 [[벤 다이어그램]]]]

[[집합론]]에서, 두 [[집합]] ''A''와 ''B''의 '''교집합'''(交集合, {{llang|en|intersection}}) ''A'' ∩ ''B''는 그 두 집합이 공통으로 포함하는 [[원소 (수학)|원소]]로 이루어진 집합이다.

예를 들어, 두 집합 {★, ●, ◆}, {●, ◆, ♥}의 교집합은 {●, ◆}이다. 두 집합에 교집합을 취하면 아무 원소도 남지 않게 되는 경우도 있다. [[짝수]]와 [[홀수]]의 집합의 교집합이 [[공집합]]인 것이 그 예이다. 이런 두 집합을 [[서로소 집합]]이라고 한다.

셋 이상의 집합, 나아가 무한히 많은 집합들에게도 교집합을 취할 수 있다. 집합 여럿의 교집합은 동시에 그들 모두의 원소인 대상들을 모아놓은 집합이다.

[[벤 다이어그램]]에서, 교집합은 여러 원의 겹친 부분으로 표현된다. (오른쪽 그림)

집합을 공리화한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서, 교집합의 합리성은 [[분류 공리꼴]]과 [[확장 공리]]에 따라 보장된다.

== 정의와 예시 ==
[[파일:Venn0001.svg|섬네일|''A'' ∩ ''B'']]
[[파일:Venn 0000 0001.svg|섬네일|''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'']]

두 집합 ''A'', ''B''의 교집합은 ''A'' ∩ ''B''로 표기하며, ''A''에도 속하고 ''B''에도 속하는 원소들을 골라놓은 집합을 뜻한다. 즉,

:<math>A \cap B = \{x : x \in A\text{ and }x \in B\}</math>

또는

:{{수학|''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B''일 [[필요충분조건]]은 ''x'' ∈ ''A'' 또한 ''x'' ∈ ''B''}}

다음은 두 집합의 교집합의 예이다.

* 두 집합 {1, 2}, {2, 3}의 교집합은 {2}이다.
* 2의 [[배수]]([[짝수]])와 3의 배수의 집합의 교집합은 6의 배수의 집합이다.
* [[서로소 집합|서로소]]인 두 집합, 이를테면 [[유리수]], [[무리수]] 집합의 교집합은 [[공집합]]이다.

== 여럿의 교집합 ==
임의의 개수의 집합의 교집합은 그들 모두에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 여러 개의 집합, 예를 들어 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''의 교집합은 그들 사이사이에 교집합 기호를 써 표시한다.

:<math>A \cap B \cap C \cap D \cap E</math>

각각의 집합에 [[첨수]](예를 들어 양의 정수 1, 2, ...)를 부여해 대형 연산자를 통해 나타내는 방법도 있다. 예를 들어

:<math>\bigcap_{i = 1}^5 A_i,\qquad \bigcap_{i = 1}^{\infty} B_i,\qquad \bigcap_{i \in I} C_i</math>

는 각각 ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ''A''<sub>4</sub>, ''A''<sub>5</sub>의 교집합, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ...의 교집합, ''C<sub>i</sub>'' (''i'' ∈ ''I'', ''I''는 [[첨수집합]], ''I'' ≠ Ø)의 교집합을 나타낸다. 이때

:<math>x \in \bigcap_{i \in I} C_i\ \Longleftrightarrow\ \forall i\in I,\ x \in C_i</math>

가 성립한다.

집합을 원소로 갖는, 공집합이 아닌 집합 {{mathcal|A}}의 교집합 ⋂{{mathcal|A}}('''임의의 교집합''', {{llang|en|arbitrary intersection}})는 {{mathcal|A}}의 모든 원소에 동시에 속하는 대상으로 이루어진 집합이다. 즉

:<math>x \in \bigcap \mathcal{A}\ \iff\ \forall A \in \mathcal{A},\ x \in A</math>

== 성질 ==
{{본문|집합대수}}

== 공리적 집합론 ==
[[선택공리]]를 더하거나 더하지 않은 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서, 집합들의 교집합은 [[분류 공리꼴]]에 따라 그 존재성이, [[확장 공리]]에 따라 그 유일성이 보장된다. 예를 들어, 두 집합 ''A''와 ''B''의 교집합은

:<math>\forall x\, (x \in C \iff (x \in A \land x \in B))</math>

를 만족하는 유일한 집합 ''C''로 정의된다. 공집합이 아닌 집합족 {{mathcal|A}}의 교집합은

:<math>\forall x\, (x \in C \iff (x \in A_0 \land \forall A \in \mathcal{A}\, (x \in A)))</math>

를 만족하는 유일한 집합 ''C''로 정의된다. 여기서 ''A''<sub>0</sub>은 {{mathcal|A}}의 어떤 원소이며, 이에 대한 선택은 정의에 영향을 주지 않는다.

보다 일반적으로, [[모임 (집합론)|모임]]들의 "교집합"과 집합들의 모임의 "교집합"을 정의할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[서로소 집합]]
* [[논리곱]]

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:초등 수학]]