교류 회로 문서 원본 보기

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'''교류 회로'''란 회로 내의 전력 공급원으로부터 발생하는 전류의 양과 방향이 주기적으로 바뀌는 회로를 말한다. [[교류]]의 종류로는 사인파, 삼각파, 사각파 등이 있으며 그 중에서도 사인파가 가장 전형적인 교류라 할 수 있다. 이 때, 삼각파나 사각파를 비롯해 주기성을 띠는 임의의 전류는 사인파의 합성을 이용해 생성가능하다.
== 저항만 연결된 경우 ==
[[파일:교류회로도1.jpg|섬네일|저항 회로]]

전원으로부터 발생하는 전압을 V, 저항체의 저항을 R이라 하자.
: <math>V = V_M \sin \omega t</math>
전원의 전압이 위와 같이 변한다고 하면 저항체를 지나는 전류는 아래와 같이 구할 수 있다.
: <math>I = \frac{V}{R} = \frac{V_M}{R} \sin \omega t</math>
여기서 전류의 최댓값을 <math>I_M</math>이라 한다면 위식은 아래와 같이 변형가능하다.
: <math>I = I_M \sin \omega t</math>

== 축전기만 연결된 경우 ==
[[파일:교류회로도2.jpg|섬네일|축전기 회로]]

전압을 V, 축전기의 전기용량을 C, 축전기의 전하량을 Q라 하면
: <math>Q = CV = CV_M \sin \omega t</math>
따라서 축전기에 흐르는 전류는
: <math>I = \frac{dQ}{dt} = CV_M \omega \cos \omega t</math>
가 된다. 위의 식에서도 확인할 수 있듯, 축전기가 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

== 코일만 연결된 경우 ==
[[파일:교류회로도3.jpg|섬네일|코일 회로]]

전압을 V, 코일의 유도용량을 L이라 하면
: <math>L\frac{dI}{dt} = V_M \sin \omega t</math>
이므로 시간에 따른 전류를 아래 식으로 표현할 수 있다.
: <math>I = - \frac{V_M}{ \omega L} \cos \omega t</math>
역시 축전기만 연결된 경우와 마찬가지로 코일이 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

== 저항, 축전기, 코일의 직렬연결 ==
{{본문|RLC 회로}}
[[파일:교류회로도4.jpg|섬네일|RLC 회로]]

저항체의 저항, 축전기의 전기용량, 코일의 유도용량이 각각 R, C, L일 때 저항체, 축전기, 코일을 직렬로 연결한 경우에 대해 키르히호프 정리를 적용하면
: <math>\frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt} + L \frac{d^2Q}{dt^2} = 0</math>
이 된다. 이 미분방정식의 해는 아래와 같다.
: <math>Q=Q_M e^{-\frac{R}{2L}t} \cos \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t</math>  (<math> \frac{1}{LC} > \frac{R^2}{4L^2}</math>인 경우)
: <math>Q=Q_M e^{-\frac{R}{2L}t}</math>  (<math> \frac{1}{LC} = \frac{R^2}{4L^2}</math>인 경우)
: <math>Q=Q_M e^{-(\frac{R}{2L}+\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}})t}</math>  (<math> \frac{1}{LC} < \frac{R^2}{4L^2}</math>인 경우)

한편, 이 회로에서 저항이 없는 경우, 즉 R=0인경우의 해는
: <math>Q=Q_M e^{-\frac{R}{2L}t} \cos \sqrt{\frac{1}{LC}} t</math>
이다. 이때 회로에서는 에너지 손실이 일어나지 않고 축전기는 영원히 충전과 방전을 반복하는데 이때의 진동수를 고유진동수라 하며 그 값에 <math>2 \pi</math>를 곱한 값을 고유 각운동량을 고유각운동량<math>\omega _0</math>이라 한다.
: <math> \omega _0 ^2 = \frac{1}{LC}</math>

=== 교류 전압이 걸린 RLC회로 ===
[[파일:교류회로도5.jpg|섬네일|RLC 회로]]

RLC회로에 교류전압이 걸리는 경우 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.
: <math>\frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt} + L \frac{d^2Q}{dt^2} = V_M \sin \omega t</math>
위 이차 미분방정식의 특수해는
: <math>Q = \frac{V}{(\omega ^2 L - \frac{1}{C} ) \sin \phi - \omega R \cos \phi} \cos (\omega t + \phi)</math> (이때, <math>\tan \phi = \frac{\frac{1}{\omega C}-\omega L}{R}</math>)
이다. 앞에서 우변이 0일 때에 대해서 구한 일반해를 <math>Q_g (t)</math>라하면 위 미분방정식의 해는 아래와 같이 표현가능하다.
: <math>Q = \frac{V}{(\omega ^2 L - \frac{1}{C} ) \sin \phi - \omega R \cos \phi} \cos (\omega t + \phi) + Q_g (t)</math> (이때, <math>\tan \phi = \frac{\frac{1}{\omega C}-\omega L}{R}</math>)
하지만 이때, <math>Q_g (t) </math>는 시간이 흐름에 따라 지수적으로 감소하므로 전류가 흐른 후 약간의 시간이 흐른 후부터는 <math>Q_g (t) </math>를 무시할 수 있다.
위 식을 t에 대해 미분하여 얻을 수 있는 회로에 흐르는 전류의 양은 다음과 같다.
: <math>I = \frac{V}{ \sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C} - \omega L)^2}} \sin (\omega t + \phi)</math> (이때, <math>\tan \phi = \frac{\frac{1}{\omega C}-\omega L}{R}</math>)

이때, <math>X_C = \frac{1}{\omega C}, X_L = \omega L</math>이라 하면 위 식은
: <math>I = \frac{V}{ \sqrt{R^2+(X_C - X_L)^2}} \sin (\omega t + \phi)</math> (이때, <math>\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}</math>)
으로 바꿀 수 있으며 이 때
: <math>Z = \sqrt{R^2+(X_C - X_L)^2}</math>
를 RLC회로의 임피던스라 정의한다.
RLC회로는 저항이 Z인 회로에 V의 전압이 걸렸을 때와 유사한 모양을 보인다.

=== 공진 ===
RLC회로에서 <math>X_C = X_L</math>인 경우, 즉
: <math>w = w_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}</math>
인 경우를 공명이라 한다. 공명상태에서는 전압과 전류의 위상차가 0이 되고, 전류의 최댓값이 가장 커진다.

[[분류:전기 회로]]