교대 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[추상대수학]]에서 '''교대 대수'''(交代代數, {{llang|en|alternating algebra}})는 [[결합 법칙]]보다 더 약한 형태의 결합성을 만족시키는 [[대수 (환론)|체 위의 대수]]이다.

== 정의 ==
표수가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] 위의 [[대수 (환론)|대수]] <math>A</math>에 대하여, 다음 네 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 대수를 '''교대 대수'''라고 한다.
* 다음 세 항등식 가운데 적어도 두 개가 성립한다.
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>a(ab)=a^2b</math>. 즉, <math>[a,a,b]=0</math>이다.
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>(ab)b=ab^2</math>. 즉, <math>[a,b,b]=0</math>이다.
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>(ab)a=a(ba)</math>. 즉, <math>[a,b,a]=0</math>이다.
* 위 세 항등식 모두가 성립한다.
* [[결합자]] <math>[a,b,c]</math>가 완전 반대칭이다. 즉, 임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(3)</math>에 대하여 <math>[a_1,a_2,a_3]=(-1)^{\sigma}[a_{\sigma(1)},a_{\sigma(2)},a_{\sigma(3)}]</math>이다.
여기서
:<math>[a,b,c]=(ab)c-a(bc)</math>
는 [[결합자]]이다.

== 성질 ==
항등원을 갖는 교대 대수에서, [[가역원]]들의 집합은 곱셈에 대하여 [[무팡 고리]]({{llang|en|Moufang loop}})를 이룬다.

'''아르틴 정리'''({{llang|en|Artin’s theorem}})에 따르면, 교대 대수에서 임의의 두 개의 원소로 생성되는 부분 대수는 항상 [[결합 대수]]이다.

모든 [[합성 대수]]({{llang|en|composition algebra}})는 교대 대수를 이룬다.
체 위의 모든 [[결합 대수]]는 교대 대수를 이룬다.

== 예 ==
[[팔원수]]의 <math>\mathbb R</math>-대수는 결합 대수가 아닌 교대 대수이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | first=Richard D. | last=Schafer | 날짜=1966 | zbl=0145.25601 | title=An introduction to non-associative algebras | publisher=Academic Press | isbn=0-486-68813-5 | 총서=Pure and Applied Mathematics | 권=22 | url=http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080873343 | 언어=en | 확인날짜=2015-03-23 | 보존url=https://web.archive.org/web/20150402163600/http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080873343 | 보존날짜=2015-04-02 | url-status=dead }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Alternative rings and algebras}}

[[분류:비결합대수]]