교대급수 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 '''교대급수'''(交代級數, {{llang|en|alternating series}})는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 [[실수]] 항 [[급수 (수학)|급수]]다. '''교대급수 판정법'''(交代級數判定法, {{llang|en|alternating series test}})에 따르면, 만약 교대급수의 항의 [[절댓값]]이 0으로 수렴하는 [[단조수열]]이라면, 이 급수는 [[수렴]]한다. 교대급수 판정법은 [[디리클레 판정법]]의 특수한 경우다.

== 정의 ==
=== 교대급수 ===
[[음이 아닌 실수]]의 [[수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math> (<math>a_n\ge0\forall n\ge0</math>)에 대한 '''교대급수'''는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}a_n=-a_0+a_1-a_2+a_3-\cdots</math>

=== 교대급수 판정법 ===
[[음이 아닌 실수]]의 [[수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math> (<math>a_n\ge0\forall n\ge0</math>)에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자.
* [[감소수열]]이다. 즉, <math>a_0\ge a_1\ge a_2\ge\cdots</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>
그렇다면, 교대급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=a_0-a_1+a_2-\cdots</math>
는 [[수렴]]한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|183}}
:<math>\left|\sum_{i=n}^\infty(-1)^ia_i\right|\le a_n</math>
이를 '''교대급수 판정법'''이라고 한다.
{{증명|제목=디리클레 판정법을 통한 증명}}
교대급수 판정법은 [[디리클레 판정법]]의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, [[유계 수열|유계]] [[부분합]]을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 [[단조수열]]을 곱한 급수는 수렴한다. 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^n=1-1+1-\cdots</math>
는 [[발산]]하지만, 이 급수의 부분합은 [[유계 수열]]이다. 따라서 [[디리클레 판정법]]을 적용할 수 있다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=직접적인 증명}}
교대급수의 부분합
:<math>S_n=\sum_{i=0}^n(-1)^ia_i</math>
을 생각하자.
:<math>\begin{align}
S_{n+2}
&=S_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}\\
&=S_n+(-1)^{n+1}(a_{n+1}-a_{n+2})
\end{align}
</math>
이므로, <math>n</math>이 [[홀수]]일 때 <math>S_{n+2}\ge S_n</math>이며, <math>n</math>이 [[짝수]]일 때 <math>S_{n+2}\le S_n</math>이다. 즉, <math>(S_{2k+1})_{k=0}^\infty</math>는 [[증가수열]]이며, <math>(S_{2k})_{k=0}^\infty</math>은 [[감소수열]]이다. 또한,
:<math>S_{2k+1}=S_{2k}+(-1)^{2k+1}a_{2k+1}=S_{2k}-a_{2k+1}\le S_{2k}</math>
이므로,
:<math>S_1\le S_3\le S_5\le\cdots\le S_4\le S_2\le S_0</math>
이다. 특히, <math>S_1</math>과 <math>S_0</math>은 수열 <math>(S_n)_{n=0}^\infty</math>의 하계와 상계이다. 따라서 <math>(S_{2k+1})_{k=0}^\infty</math>과 <math>(S_{2k})_{k=0}^\infty</math>은 모두 [[유계 수열]]이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.
:<math>S=\lim_{k\to\infty}S_{2k+1}\in\mathbb R</math>
:<math>S'=\lim_{k\to\infty}S_{2k}\in\mathbb R</math>
라고 하자. 그렇다면,
:<math>0=\lim_{k\to\infty}a_{2k+1}=\lim_{k\to\infty}(S_{2k}-S_{2k+1})=S-S'</math>
이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 <math>(S_n)_{n=0}^\infty</math>은 (<math>S=S'</math>으로) 수렴한다. 항상
:<math>0\le a_0-a_1=S_1\le S_n\le S_0=a_0</math>
이므로,
:<math>\left|\sum_{i=0}^\infty(-1)^ia_i\right|\le a_0</math>
이다. 수열 <math>(a_0,a_1,a_2,\dots)</math>을 수열 <math>(a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots)</math>로 대체하면 부등식
:<math>\left|\sum_{i=n}^\infty(-1)^ia_i\right|\le a_n</math>
을 얻는다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 [[절대 수렴]]하며, 특히 수렴한다.

교대급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=1-\frac12+\frac13-\cdots</math>
를 생각하자. 수열 <math>(1/n)_{n=0}^\infty</math>은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 [[조화급수]]이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 [[조건 수렴]]한다. 사실, 이 급수의 합은
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2</math>
이다. 이는 [[아벨 극한 정리]]를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수
:<math>\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^p\ln^qn}\qquad(p,q\in\mathbb R)</math>
를 생각하자.
* 만약 <math>p>1</math>이거나 <math>p=1</math>, <math>q>1</math>이라면, 이 급수는 [[절대 수렴]]한다. 이는 [[적분 판정법]]을 통하여 보일 수 있다.
* 만약 <math>p=1</math>, <math>q\le1</math>이거나 <math>0<p<1</math>이거나 <math>p=0</math>, <math>q>0</math>이라면, [[적분 판정법]]에 따라 이 급수는 [[절대 수렴]]하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 <math>x\gg1</math>에 대하여 <math>(x^{-p}\ln^{-q}x)'=x^{-p-1}\ln^{-q-1}x(-p\ln x-q)<0</math>이므로, <math>1/(n^p\ln^qn)</math>은 최종적으로 [[감소 수열]]이다. 또한 <math>1/(n^p\ln^qn)</math>은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 [[조건 수렴]]한다.
* 만약 <math>p=0</math>, <math>q\le0</math>이거나 <math>p<0</math>이라면, <math>(-1)^n/(n^p\ln^qn)</math>은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|id=Alternating_series|title=Alternating series}}
* {{매스월드|id=AlternatingSeries|title=Alternating series}}
* {{매스월드|id=AlternatingSeriesTest|title=Alternating series test}}
* {{플래닛매스|id=AlternatingSeries|title=Alternating series}}
* {{플래닛매스|id=AlternatingSeriesTest|title=Alternating series test}}
* {{플래닛매스|id=proofofalternatingseriestest|title=Proof of alternating series test}}

{{급수}}

[[분류:급수]]
[[분류:실해석학]]