교곱 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''교곱'''(交곱, {{llang|en|cap product|캡 프로덕트}})은 [[호몰로지류]]와 [[코호몰로지류]]를 하나의 [[호몰로지류]]로 축약시키는 연산이다.

== 정의 ==
''X''가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며, ''R''가 [[가환환]]이라고 하자. 그렇다면 <math>R</math> 계수의 '''교곱''' <math>\frown</math>은 다음과 같은 <math>R</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\frown\colon\operatorname H_p(X;R)\times\operatorname H^q(X;R) \to\operatorname H_{p-q}(X;R)\qquad(p\ge q)</math>
여기서 <math>\operatorname H_\bullet(X;R)</math> 및 <math>\operatorname H^\bullet(X;R)</math>는 각각 <math>R</math> 계수의 [[특이 호몰로지]]와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬 <math>\psi\in C^q(X;R)</math> 및 특이 단체 <math>\sigma\colon\triangle^p \to\ X</math>에 대하여,
:<math> \sigma \frown \psi \stackrel{\text{def}}= \psi(\sigma\circ\iota_{\{0,\dots,q\}}) \cdot \sigma\circ\iota_{\{q, \dots, p\}}</math>
여기서
:<math>\iota_S\colon\triangle^{|S|-1}\hookrightarrow\triangle^{p+q}</math>
(<math>S \subset \{0,1,...,p+q \} </math>)는 <math>|S|-1</math>차원 [[단체 (수학)|표준 단체]]를 꼭짓점들이 <math>\{0,1,\dots,p+q\}</math>인 <math>p+q</math>차원 [[단체 (수학)|표준 단체]]의, <math>S</math>에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 [[함수]]이다.

=== 경사곱 ===
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 및 [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌을 때, <math>R</math> 계수의 '''경사곱'''(傾斜-, {{llang|en|slant product}}) <math>\backslash_R</math>은 다음과 같은 <math>R</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\backslash_R\colon \operatorname H_p(X;M)\times\operatorname H^q(X\times Y;N)\to\operatorname H^{q-p}(Y;M\otimes_R)\qquad(q\ge p)</math>

구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.
:<math>f\colon C_p(X;M)\times C_q(Y;N)\to C_{p+q}(X\times Y;M\otimes_RN)</math>
만약 [[세포 호몰로지]]를 사용할 경우 이는 두 [[CW 복합체]]의 [[곱공간]] 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 [[특이 호몰로지]]를 사용할 경우, 이는
:<math>\alpha\colon\triangle^p\to X</math>
:<math>\beta\colon\triangle^q\to Y</math>
에 대하여, 단체의 곱공간 <math>\triangle^p\times\triangle^q</math> 위에 부여한 임의의 [[단체 복합체]] 구조 아래 [[기본류]]를 나타내는 특이 순환
:<math>\gamma=\sum_{i\in I}r_i\gamma_i\in C_{p+q}(\triangle^p\times \triangle^q;R)</math>
:<math>\gamma_i\colon\triangle^{p+q}\to\triangle^p\times \triangle^q</math>
을 골랐을 때
:<math>f\colon (\alpha,\beta)\mapsto\sum_{i\in I}  r_i\left((\alpha,\beta)\circ\gamma_i\right)</math>
이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.
:<math>\backslash_R\colon  \operatorname H_p(X;M)\times\operatorname H^q(X\times Y;N)\to\operatorname H^{q-p}(Y;M\otimes_RN)</math>
:<math>\alpha\backslash_R\beta\colon\sigma\mapsto \beta(f(\alpha,\sigma))</math>

== 역사 ==
교곱은 1936년 [[에두아르트 체흐]]가 처음으로 도입하였으며,<ref>{{저널 인용|제목=Multiplications on a complex|이름=Eduard|성=Čech|저자링크=에두아르트 체흐|날짜=1936-07|mr=1503304|zbl=0015.13101|권=37|쪽=681–697|호=3|저널=Annals of Mathematics|url=http://dml.cz/dmlcz/501047|jstor=1968483|doi=10.2307/1968483|issn=0003-486X|언어=en}}</ref> 1938년에 [[해슬러 휘트니]]도 독립적으로 재발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Hassler|성=Whitney|저자링크=해슬러 휘트니|제목=On products in a complex|날짜=1937-05|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=23|쪽=285–291|zbl= 0016.42001|jfm=63.1160.02|doi=10.1073/pnas.23.5.285|issn=0027-8424|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Hassler|성=Whitney|저자링크=해슬러 휘트니|날짜=1938-05|제목=On products in a complex|저널=Annals of Mathematics|권=39|쪽=397–432|mr=1503416 |jfm= 64.1265.04 |zbl=0019.14204|doi=10.2307/1968795|jstor=1968795|issn=0003-486X|언어=en}}</ref> 교곱의 기호 <math>\frown</math>는 휘트니가 고안하였다.

== 같이 보기 ==
* [[합곱]]
* [[푸앵카레 쌍대성]]
* [[특이 호몰로지]]
* [[호몰로지]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=대수적 위상수학|저자=조용승|출판사=경문사|날짜=2010-09|isbn=978-89-6105-365-5|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|access-date=2015-02-07|archive-date=2015-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20150207031741/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?&p_idx=6810|url-status=}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
*{{nlab|id=cap product|title=Cap product|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{nlab|id=slant product|title=Slant product}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:이항연산]]