관상 주변 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서, '''관상 주변'''(管狀周邊, {{llang|en|tubular neighbo(u)rhood}})은 어떤 [[부분 다양체]]의 [[근방]]과, 이 부분 다양체의 [[법다발]] 사이의 [[위상 동형]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>
* <math>Y</math>의 [[부분 집합]] <Math>X\subseteq Y</math>. 그 포함 사상을 <Math>\iota\colon X\hookrightarrow Y</math>라고 하자.
<math>X</math>의 '''관상 주변'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>
* [[단사 함수|단사]] [[연속 함수]] <math>f\colon E\to Y</math>. 이는 <math>E</math>와 <math>f(E)</math> 사이의 [[위상 동형]]을 정의해야 한다..
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 값이 항상 0인 단면 <Math>z\colon X\to E</math>에 대하여, <math>f\circ z = \iota\colon X\to Y</math>이다.

== 성질 ==
=== 존재와 유일성 ===
매끄러운 다양체 <math>M</math>, <Math>N</math> 및 [[매끄러운 매장]] <Math>\iota\colon M\hookrightarrow N</math>이 존재한다고 하자. 그렇다면, <Math>\iota</math>는 항상 관상 주변을 (하나 이상) 가지며, 이 경우 벡터 다발은 [[법다발]]
:<math>\mathrm N_\iota M = \iota^*\mathrm TN / \mathrm TM</math>
으로 잡을 수 있다.

<math>\iota</math>의, 법다발에 대한 관상주변들의 집합을 <math>\operatorname{Tub}(\iota)</math>라고 하자. 이는 포함 관계
:<math>\operatorname{Tub}(\iota) \subseteq \mathcal C^\infty(\mathrm N_\iota M,N)</math>
를 갖는다. <math>\mathcal C^\infty(\mathrm N_\iota M,N)</math> 위에 <math>\mathcal C^\infty</math> 위상을 부여할 수 있다. 만약 <math>M</math>과 <math>N</math>이 추가로 [[콤팩트 공간]]이라면, 그 부분 공간 <Math>\operatorname{Tub}(\iota) </math>는 [[축약 가능 공간]]이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0711.4859 | 날짜=2007 | 제목=Higher string topology operations | 성=Godin | 이름=Veronique | 언어=en}}</ref>{{rp|Proposition 31}} 즉, 이러한 조건 아래 관상 주변은 호모토피에 대하여 유일하다.

=== 폰트랴긴-톰 사상 ===
두 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] 사이의 [[매끄러운 매장]] <Math>\iota\colon X\hookrightarrow Y</math>의 관상 주변
:<math>f\colon \mathrm N_\iota X \to Y</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math>의 '''폰트랴긴-톰 붕괴 사상'''은 다음과 같은 [[연속 함수]]이다.
:<math>\operatorname{coll}(f)\colon Y \to \frac Y{Y\setminus \operatorname{im}f} \cong \operatorname{Th}(\mathrm N_\iota X)</math>
이는 물론 [[몫공간]]에 대한 표준적 [[전사 함수]]이다. 그 [[공역]] <math>Y/(Y\setminus\operatorname{im}f)</math>은 정의에 따라 [[법다발]]의 [[톰 공간]] <math>\operatorname{Th}(\mathrm N_\iota X)</math>과 [[위상 동형]]이며, 이 위상 동형의 [[호모토피류]]는 표준적이다.

특히, <math>Y = \mathbb S^{k+n}</math> ([[초구]])인 경우를 생각하자. [[휘트니 매장 정리]]에 따라서, 모든 <math>n</math>차원 콤팩트 다양체는 충분히 큰 차원의 초구 <math>\mathbb S^{k+n}</math> 속의 매장
:<math>\iota\colon X\hookrightarrow \mathbb S^{k+n}</math>
을 갖는다. 이 경우, 폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 [[호모토피 군]]의 원소
:<math>\operatorname{coll}(\iota)\colon \mathbb S^{k+n} \to \operatorname{Th}(\mathrm N_\iota X)</math>
를 정의한다. [[법다발]]은 <math>\operatorname O(k)</math>의 구조를 가지므로, [[분류 공간]] <math>\operatorname{BO}(k)</math>로 가는, 법다발을 분류하는 사상 <math>\phi_\iota\colon X \to \operatorname{BN}(k)</math>을 찾을 수 있다. 즉,
:<math>\mathbb S^{n+k} \,\xrightarrow{\operatorname{coll}}\, X \,\xrightarrow\phi\,\operatorname{BO}(k)</math>
이다.

선형 포함 관계
:<math>\mathbb R^0\hookrightarrow \mathbb R^1\hookrightarrow\mathbb R^2\hookrightarrow\dotsb</math>
의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]
:<math>\mathbb S^0\hookrightarrow \mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^2\hookrightarrow\dotsb</math>
에 따라, 이는 '''톰 스펙트럼'''({{llang|en|Thom spectrum}})이라는 어떤 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]의 [[안정 호모토피 군]]의 원소를 정의한다. 이는 사실 매장 <Math>\iota</math>에 의존하지 않으며, <math>M</math>의 [[보충 경계]]에 대한 모든 정보를 담고 있다 ('''톰 정리''' {{llang|en|Thom’s theorem}}).

== 역사 ==
폰트랴긴-톰 붕괴 사상은 [[르네 톰]]과 [[레프 폰트랴긴]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=tubular neighborhood|title=Tubular neighborhood}}
* {{nlab|id=Pontrjagin-Thom collapse map}}
* {{nlab|id=Thom spectrum}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:매끄러운 다양체]]