관계 (수학) 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''관계'''(關係, {{llang|en|relation}})는 [[곱집합]]의 [[부분 집합]]이다. 원소의 [[튜플]]이 이 부분 집합에 속하는지 여부를 통해 원소들 사이의 관계를 나타낸다.

== 정의 ==
[[집합족]] <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> 위의 '''관계'''는 [[곱집합]]의 [[부분 집합]]
:<math>\textstyle R\subseteq\prod_{i\in I}X_i</math>
이다. 특히, [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, 집합 <math>X</math> 위의 '''<math>\alpha</math>항 관계'''({{llang|en|<math>\alpha</math>-ary relation}})는 거듭제곱 집합의 부분 집합
:<math>R\subseteq X^{\times\alpha}</math>
이다. 특히 [[항수 (수학)|항수]]에 따라 다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.
* <math>X</math> 위의 '''영항 관계'''(零項關係, {{llang|en|nullary relation}}) <math>R\subseteq\{\bullet\}</math>. 즉, <math>R=\varnothing</math> 또는 <math>R=\{\bullet\}</math>.
* <math>X</math> 위의 '''단항 관계'''(單項關係, {{llang|en|unary relation}}) <math>R\subseteq X</math>
* <math>X</math> 위의 '''이항 관계'''(二項關係, {{llang|en|binary relation}}) <math>R\subseteq X\times X</math>. 이 경우, <math>(x,y)\in R</math>를 <math>xRy</math>와 같이 표기하기도 한다.
* <math>X</math> 위의 '''삼항 관계'''(三項關係, {{llang|en|ternary relation}}) <math>R\subseteq X\times X\times X</math>.
* <math>X</math> 위의 '''<math>n</math>항 관계'''(-項關係, {{llang|en|n-ary relation}}) <math>R\subseteq X^{\times n}</math>. 이 경우, <math>(x_1,\dots,x_n)\in R</math>를 <math>R(x_1,\dots,x_n)</math>와 같이 표기하기도 한다.

== 예 ==
* [[공선점]] 관계는 공간 속의 점들에 대한 삼항 관계이다.
*여러 가지 이항 관계: 여기서는 집합 <math>X</math>상의 이항 관계 <math>R</math>에 관해서 생각하자. <math>\forall x \in X (xRx)</math>를 반사성(reflexivity)라 한다. <math>\forall x,y \in X (xRy \rightarrow yRx)</math>를 대칭성(symmetricity)라 한다. <math>\forall x,y \in X (xRy \wedge yRx \rightarrow x=y)</math>를 반대칭성(antisymmetricity), <math>\forall x,y \in X (xRy \rightarrow \neg yRx)</math>를 비대칭성(asymmetricity)이라 한다. <math>\forall x,y,z \in X ( xRy \wedge yRz \rightarrow xRz)</math>를 추이성이라 한다.
*반사적, 대칭적, 추이적인 관계를 동치 관계라 한다.
*반사적, 반대칭적, 추이적인 관계를 순서 관계라 하고 비대칭적, 추이적인 관계를 강 순서 관계라 한다. 그러면 관계 <math><</math>와 관계 <math>\le</math>에 대하여 <math>x \le y \iff x<y \vee x=y</math>가 성립할 때, <math><</math>가 강 순서 관계일 조건과 <math>\le</math>가 순서 관계일 조건은 서로 필요충분조건이다. 문맥에 따라 강 순서 관계를 그저 순서 관계로 할 수도 있으므로 주의가 필요하다.

== 같이 보기 ==
* [[결합 구조]]
* [[하이퍼그래프]]
* [[이진 행렬]]
* [[반사관계]]
* [[관계대수]]
* [[관계형 모델]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Relation}}
* {{eom|title=Binary relation}}
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* {{nlab|id=relation|title=Relation}}
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* {{proofwiki|id=Category:Definitions/Relation Theory|제목=Category:Definitions/Relation theory}}
* {{proofwiki|id=Category:Relation Theory|제목=Category:Relation theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:관계 (수학)]]