공형군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 [[내적 공간]]의 '''공형군'''({{llang|en|Conformal group}})은 각도를 보존하는 [[자기 사상]] 군이다. 보다 공식적으로는 내적 공간의 [[공형기하학]]을 보존하는 변환 군이다. 공형군은 기하학적으로 중요할뿐만 아니라 [[복소해석학]]에서도 자연스럽게 등장한다. 또한 [[민코프스키 공간]]의 기하학에서도 중요하다.

특히 중요한 몇 가지 특정 공형군들:

* 공형 [[직교군]]: ''V''가 [[이차 형식]] ''Q''가 주어진 벡터 공간인 경우 공형 직교 군 {{개행 금지|CO(''V'', ''Q'')}}는 ''V'' 의 모든 ''x'' 에 대해 다음과 같은 스칼라 ''λ가'' 존재하는 ''V'' 의 선형 변환 ''T'' 군이다.
*: <math>Q(Tx) = \lambda^2 Q(x)</math>

: 정부호 이차 형식의 경우 공형 직교 군은 [[중심 닮음 변환|중심 닮음 변환 군]]에 [[직교군]]을 곱한 것과 같다.

* [[구 (기하학)|구]]의 공형군은 [[반전기하학|원 반전]]으로 생성된다. 이 군은 [[뫼비우스 변환|뫼비우스 군]]으로도 알려져 있다.
* [[유클리드 공간]] '''En''', {{개행 금지|''n'' > 2}} 에서 공형군은 [[초구]] 반전으로 생성된다.
* 준 유클리드 공간 '''E''' <sup>''p'', ''q''</sup>에서 {{개행 금지|Conf(''p'', ''q'') ≃ O(''p'' + 1, ''q'' + 1) / Z<sub>2</sub>}}이다.<ref>{{서적 인용|제목=An Introduction to Clifford Algebras and Spinors|성=Jayme Vaz, Jr.|성2=Roldão da Rocha, Jr.|연도=2016|출판사=Oxford University Press|쪽=140|isbn=9780191085789}}</ref>

모든 공형군은 [[리 군]]이다.

== 각도 해석 ==
유클리드 기하학에서는 원에서 유래하는 표준적 [[각 (수학)|각도]]가 있지만 준 유클리드 공간에서는 쌍곡선 각도도 있다. [[특수 상대성이론]] 연구에서 정지 좌표계에 대한 속도 변화에 대한 다양한 기준 좌표계는 쌍곡 각도인 [[신속도]]와 관련된다. [[로런츠 변환|로런츠 부스트]]는 신속도 사이의 미분 각도를 유지하는 쌍곡 회전으로 설명 할 수 있다. 즉, [[로런츠 변환|로런츠 부스트]]는 쌍곡 각도에 대한 [[등각 사상|공형 변환]]이다.

일반적인 [[복소평면]]의 공형군인 [[뫼비우스 변환|뫼비우스 군]]의 과정을 모방하면 적절한 공형군을 생성할 수 있다. 준 유클리드 기하학은 점이 [[분할복소수]] 또는 [[이원수 (수학)|이원수]] 평면 기하학으로 설명 된다. 뫼비우스 군을 완전히 설명하기 위해 [[콤팩트 공간]]인 [[리만 구]]가 필요한 것처럼 대체적 복소 평면은 공형 사상의 완전한 설명을 위해 콤팩트화가 필요하다. 그럼에도 불구하고, 각 경우의 공형군은 적절한 평면에서의 선형 분수 변환에 의해 제공된다.

== 정의 ==
([[준 리만 다양체|준]]-) [[리만 다양체]] <math>M</math>가 주어졌을 때, '''공형군''' <math>\text{Conf}(M)</math>은 <math>M</math>에서 자체로 가는 [[등각 사상|공형 사상]]들이 이루는 군이다.

보다 구체적으로, 이것은 <math>M</math>에서 각도를 보존하는 매끄러운 자기 사상 군이다. 그러나 [[공형기하학|공형 동치류]] <math>[g]</math>가 정부호가 아닌 경우 '각도'는 무한대일 수도 있는 초각(超角, hyper-angle)이다.

준 유클리드 공간의 경우 정의가 약간 다르다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/02_978-3-540-68625-5_Ch02_23-08-08.pdf|제목=A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory|성=Schottenloher|이름=Martin|연도=2008|출판사=Springer Science & Business Media|쪽=23|isbn=978-3540686255}}</ref> <math>\text{Conf}(p,q)</math>는 준 유클리드 공간 <math>\mathbf{E}^{p, q}</math>(때로는 [[정규 직교 기저|직교 기저]]를 선택한 후 <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>로 본다.)의 [[콤팩트화|공형 콤팩트화]]로 인해 발생하는 다양체의 공형군이다. 이 공형 콤팩트화는 <math>S^p\times S^q</math>을 사용하여 정의할 수 있으며, 포함 사상 <math>(\mathbf{x}, \mathbf{t})\mapsto X = (\mathbf{x}, \mathbf{t})</math>에 의해 <math>\mathbb{R}^{p+1, q+1}</math>에서 널 포인트들이 이루는 부분 다양체로 본다. (여기서 <math>X</math> 단일 시공간 벡터로 간주된다). 공형 콤팩트화는 그러면  '대척점'들을 붙인 <math>S^p\times S^q</math>이다. 이는 <math>\mathbb{R}^{p+1,q+1}</math>의 사영화를 통해 발생한다. 만약에 <math>N^{p,q}</math>가 공형 콤팩트화이면  <math>\text{Conf}(p,q) := \text{Conf}(N^{p,q})</math>. 특히 이 군에는 <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>의 [[반전기하학|반전]]이 포함된다. 이는 <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>의 자기 사상이 아니다. 왜냐하면 원점을 무한대로 사상하고 무한대를 원점으로 사상하기 때문이다.

== Conf(p,q) ==
준 유클리드 공간 <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>의 경우, 공형군의 [[리 대수]]의 기저는 <math>\{M_{\mu\nu}, P_\mu, K_\mu, D\}</math>로 주어지고 다음 교환 관계를 사용한다.<ref name="cft">{{서적 인용|제목=Conformal field theory|url=https://archive.org/details/conformalfieldth0000difr|성=Di Francesco|이름=Philippe|성2=Mathieu|이름2=Pierre|날짜=1997|출판사=Springer|위치=New York|isbn=9780387947853|성3=Sénéchal|이름3=David}}</ref><math display="block">\begin{align} &[D,K_\mu]= -iK_\mu \,, \\
&[D,P_\mu]= iP_\mu \,, \\
&[K_\mu,P_\nu]=2i (\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu}) \,, \\
&[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \,, \\
&[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \,, \\
&[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,, \end{align}</math>다른 모든 [[리 괄호]]는 사라지게 된다. 여기서 <math>\eta_{\mu\nu}</math>는 [[민코프스키 공간|민코프스키 계량]]이다. 실제로 이 리 대수는 공간 차원과 시간 차원이 하나 더 있는 [[로런츠 군]]의 리 대수 <math>\mathfrak{conf}(p,q) \cong \mathfrak{so}(p+1, q+1)</math>와 동형이다. 차원이 일치하는지는 쉽게 확인할 수 있다. 동형 사상을 명시적으로 나타내려면 다음을 정의하자.<math display="block">
\begin{align} &J_{\mu\nu} = M_{\mu\nu} \,, \\
&J_{+1, \mu} = \frac{1}{2}(P_\mu - K_\mu) \,, \\
&J_{0, \mu} = \frac{1}{2}(P_\mu + K_\mu) \,, \\
&J_{-1, 0} = D.
\end{align}</math>그러면 <math>a, b = -1, 0, \cdots, n = p+q</math>에 대해 생성원 <math>J_{ab}</math>이 [[로런츠 군|로런츠 대수]] 관계를 따르고 계량은<math>\tilde \eta_{ab} = \operatorname{diag}(-1, +1, -1, \cdots, -1, +1, \cdots, +1)</math>이다.

== 2차원 시공간의 공형군 ==
2차원 유클리드 공간 또는 1+1차원 시공간의 경우 공형 대칭 공간이 훨씬 더 크다. 물리학에서는 공형군이 무한 차원이라고 말하는 경우가 있지만 이는 국소 대칭의 리 대수가 무한 차원인 반면 잘 정의된 전역 대칭의 리 군으로 반드시 확장되는 것은 아니기 때문에 이는 정확한 표현이 아니다.

<math>n > 2</math> 차원 시공간의 경우, 국소 공형 대칭은 모두 전역 대칭으로 확장된다. <math>n = 2</math>일 때 유클리드 공간, 복소 좌표 <math>z = x + iy</math>로 변경된 후 국소 공형 대칭은 다음 벡터장들의 무한 차원 공간으로 설명된다.<math display="block">l_n = -z^{n+1}\partial_z.</math>따라서 2차원 유클리드 공간의 국소 공형 대칭은 무한 차원 비트 대수이다.

== 시공간의 공형군 ==
1908년, [[리버풀 대학교]]의 두 명의 젊은 연구원인 해리 배이트먼과 에벤에저 커닝햄은 '''시공간의 공형군'''에 대한 아이디어를 꺼냈다.<ref>{{저널 인용|제목=The conformal transformations of a space of four dimensions and their applications to geometrical optics|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|성=Bateman, Harry|저자링크=Harry Bateman|연도=1908|권=7|쪽=70–89|doi=10.1112/plms/s2-7.1.70}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The Transformation of the Electrodynamical Equations|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|성=Bateman, Harry|연도=1910|권=8|쪽=223–264|doi=10.1112/plms/s2-8.1.223}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|성=Cunningham, Ebenezer|저자링크=Ebenezer Cunningham|연도=1910|권=8|쪽=77–98|doi=10.1112/plms/s2-8.1.77}}</ref> 그들은 [[운동학]] 군이 시공간의 이차 형식을 보존하기 때문에 필연적으로 공형군이고 등방 이차 형식에 관해서는 직교 변환과 준하다고 주장했다. [[전자기장]]의 자유성은 운동학적 운동에만 국한되지 않고 오히려 이차 형식를 유지하는 변환''에'' 국소적으로 비례해야 한다. 1910년 해리 배이트먼의 논문에서는 [[광추|빛 원뿔]]을 보존하는 변환의 [[야코비 행렬]]을 연구하고 그것이 공형 특성을 가지고 있음을 보여주었다.<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw|제목=Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics|성=Warwick, Andrew|연도=2003|출판사=[[University of Chicago Press]]|위치=Chicago|쪽=[https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw/page/416 416–24]|isbn=0-226-87375-7}}</ref> 배이트먼과 커닝햄은 이 공형군이 " [[맥스웰 방정식]]을 구조적으로 불변하게 만드는 가장 큰 변환 군"임을 보여주었다. 시공간의 공형군은 <math>C(1,3)</math>으로 표시되었다<ref>Boris Kosyakov (2007) [https://books.google.com/books?id=ttuO8-_D_oUC&pg=PA216 Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields], page 216, [[Springer books]] via [[Google Books]]</ref>

수학자 [[이삭 야글롬]]은 [[분할복소수]]와 [[이원수 (수학)|이원수]]에서 시공간 공형 변환의 수학에 기여했다. 분할 복소수와 이원수는 [[체 (수학)|체]]가 아닌 [[환 (수학)|환]]을 형성하므로 선형 분수 변환에서는 전단사 사상이 되기 위해 [[고리 위의 투영선|환 위의 사영직선]]이 필요하다.

1914년 루드빅 실버스타인의 작업 이후로 로런츠 군을 표현하기 위해 [[쌍사원수]] 환을 사용하는 것이 전통이었다. 시공간 공형군의 경우 해당 환 위의 사영선에서 선형 분수 변환을 고려하는 것으로 충분하다. 배이트먼은 시공간 공형군의 원소를 [[구형파 변환|구형 파동 변환]]이라 불렀다. 시공간 [[이차 형식]] 연구의 세부 사항은 [[거짓말 구 기하학|리 구면 기하학]]에 흡수되었다.

공형군이 물리적 과학에서 지속적으로 관심을 받는 것에 대해 [[AO 바루트|바루트]]는 1985년에 다음과 같이 썼다. "공형군에 대한 관심의 주요 이유 중 하나는 그것이 아마도 [[푸앵카레 군]]을 포함하는 더 큰 군 중에서 가장 중요하다는 것이다."<ref>[[A. O. Barut]] & H.-D. Doebner (1985) ''Conformal groups and Related Symmetries: Physical Results and Mathematical Background'', [[Lecture Notes in Physics]] #261 [[Springer books]], see preface for quotation</ref>

== 같이 보기 ==
* [[등각 사상|공형 사상]]
* [[등각 대칭|공형 대칭(물리)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽어보기 ==
* {{서적 인용|제목=Transformation Groups in Differential Geometry|성=Kobayashi|이름=S.|연도=1972|총서=Classics in Mathematics|출판사=Springer|isbn=3-540-58659-8|oclc=31374337}}
* {{인용 | first = R.W. | last = Sharpe | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1997 | isbn = 0-387-94732-9}}.
* Peter Scherk (1960) "Some Concepts of Conformal Geometry", American Mathematical Monthly 67(1): 1−30 {{Doi|10.2307/2308920}}
* Martin Schottenloher, The conformal group, chapter 2 of A mathematical introduction to conformal field theory, 2008 ([http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/02_978-3-540-68625-5_Ch02_23-08-08.pdf pdf])
* [https://ncatlab.org/nlab/show/conformal+group%7CnLab page on conformal groups]{{깨진 링크|url=https://ncatlab.org/nlab/show/conformal+group%7CnLab }}

[[분류:공형기하학]]