공집합 문서 원본 보기

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{{출처 필요|날짜=2010-10-17}}
[[파일:Nullset.png|섬네일|100픽셀|공집합의 기호]]
[[수학]]에서 '''공집합'''(空集合, {{llang|en|empty set}})은 [[원소 (수학)|원소]]가 하나도 없는 [[집합]]이다. 기호는 { } 또는 <math>\varnothing</math> (∅) 또는 <math>\emptyset</math>. <math>\varnothing</math> 기호는 시행 결과로 어떠한 조건에서도 나올 수 없는 사건을 의미하는 '''공사건'''의 기호이기도 하다.

== 정의 ==
공집합 <math>\varnothing</math>은 아무런 [[원소 (수학)|원소]]를 가지지 않는 [[집합]]이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.
* 임의의 <math>x\in\varnothing</math>에 대하여, <math>x\ne x</math>

== 성질 ==
모든 집합 <math>A</math>에 대하여,
* 공집합은 <math>A</math>의 [[부분집합]]이다.
*:<math>\varnothing \subset A</math>
* 집합 <math>A</math>와 공집합의 [[합집합]]은 집합 A이다.
*:<math>A \cup \varnothing = A</math>
* 집합 <math>A</math>와 공집합의 [[교집합]]은 공집합이다.
*:<math>A \cap \varnothing = \varnothing</math>
* 집합 <math>A</math>와 공집합의 [[곱집합]]은 공집합이다.
*:<math>A \times \varnothing = \varnothing</math>
공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.
* 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
*:<math>A \subset \varnothing \Longrightarrow A = \varnothing</math>
* 공집합의 [[멱집합]]은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
*:<math>2^\varnothing = \{\varnothing\}</math>
* 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 [[기수 (수학)|기수]]가 0이다. 공집합은 유한집합이다.
*:<math>\mathrm{card}(\varnothing)= 0</math>
*<math>A</math>는 [[공집합]]과 서로소이다.
<math>A-\varnothing=A</math>

== 응용 ==
=== 공허하게 참인 명제 ===
'''공허하게 참인 명제'''(空虛-命題, {{llang|en|vacuously true statement}})는 [[공집합]]에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.
* <math>\forall x\in\varnothing\colon\phi(x)</math>
* <math>\phi\implies\psi</math> (여기서 <math>\phi</math>는 거짓 명제이다.)
공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 [[모순 명제]]이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.
* 임의의 <math>x\in\varnothing</math>에 대하여, <math>x\ne x</math>
* 만약 <math>3<x<2</math>라면, <math>6<2x<4</math>이다.

=== 공집합에 대한 합과 곱 ===
{{본문|합|곱}}
편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\sum_{x\in\varnothing}x=0</math>
:<math>\prod_{x\in\varnothing}x=1</math>
예를 들어, 합
:<math>\sum_{n=p}^qa_n</math>
을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
:<math>\sum_{n=p}^qa_n=\begin{cases}0&p>q\\\displaystyle\sum_{n=p}^{q-1}a_n+a_q&p\le q\end{cases}</math>

=== 영항 연산 ===
{{본문|영항 연산}}
편의를 위해, 집합 <math>A</math>의 0번 곱집합 <math>A^{\times0}</math>은 임의의 [[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}</math>으로 정의된다. 이 경우, 집합 <math>A</math> 위의 영항 연산
:<math>f\colon A^{\times0}\to A</math>
는 <math>A</math>의 원소
:<math>f(\bullet)\in A</math>
와 일대일 대응한다.

=== 집합론 ===
[[수 (수학)|수]], 특히 [[자연수]]를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. <math>0:=\varnothing, \ 1:=\{\varnothing\}, \ 2:=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \ \cdots</math> 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 [[무한 공리]]에서 사용하는 방법이다.

== 역사 ==
공집합의 기호 <math>\varnothing</math>는 프랑스의 수학자이며 [[니콜라 부르바키]]의 회원이었던 [[앙드레 베유]]가 문자 [[Ø]]로부터 도입하였다. 그리스 문자 <math>\phi</math>를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

== 같이 보기 ==
* [[헐모시 팔]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Empty set}}
* {{매스월드|id=EmptySet|title=Empty set}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/empty+set|제목=Empty set|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{집합론}}
{{토막글|수학}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:무 (철학)]]