공종 집합 문서 원본 보기

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[[순서론]]에서 '''공종 집합'''(共終集合, {{llang|en|cofinal set}})은 그 [[하집합|하폐포]]가 전체 집합인, [[원순서 집합]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 '''공종 집합'''(共終集合, {{llang|en|cofinal set}}) <math>S\subseteq X</math>는
:<math>X=\downarrow S</math>
가 성립하는 [[부분 집합]]이다. 여기서 <math>\downarrow</math>는 [[하폐포]]를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.
:<math>\forall x\in X\exists s\in S\colon x\lesssim s</math>

[[쌍대성|쌍대적]]으로, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 '''공시작 집합'''(共始作共終, {{llang|en|coinitial set}}) <math>S\subseteq X</math>는
:<math>X=\uparrow S</math>
가 성립하는 [[부분 집합]]이다. 여기서 <math>\uparrow</math>는 [[상폐포]]를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.
:<math>\forall x\in X\exists s\in S\colon x\gtrsim s</math>

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 공종 집합 및 공시작 집합들은 각각 포함 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 이들을 각각 <math>\operatorname{Cofin}(X)</math>와 <math>\operatorname{Coinit}(X)=\operatorname{Cofin}(X^{\operatorname{op}})</math>로 나타내자.

[[집합]] <math>X</math> 및 [[원순서 집합]] <math>(Y,\lesssim_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>의 [[치역]]이 <math>Y</math>의 [[공종 집합]]이라면, <math>f</math>를 '''공종 함수'''({{llang|en|cofinal map}})라고 한다.

== 성질 ==
=== 추이성 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 두 부분 집합 <math>Z\subseteq Y\subseteq X</math>에 대하여,
* 만약 <math>Z</math>가 <math>(Y,\lesssim)</math>의 공종 집합이며 <math>Y</math>가 <math>(X,\lesssim)</math>의 공종 집합이라면 <math>Z</math>는 <math>(X,\lesssim)</math>의 공종 집합이다.
* 만약 <math>Z</math>가 <math>(Y,\lesssim)</math>의 공시작 집합이며 <math>Y</math>가 <math>(X,\lesssim)</math>의 공시작 집합이라면 <math>Z</math>는 <math>(X,\lesssim)</math>의 공시작 집합이다.

=== 극대 · 극소 공종 집합 ===
그렇다면, <math>\operatorname{Cofin}(X)</math>와 <math>\operatorname{Coinit}(X)</math>의 [[최대 원소]]는 <math>X</math>이다. 또한, 공종 집합들의 족의 합집합은 공종 집합이며, 공시작 집합들의 족의 합집합은 공시작 집합이다. 따라서, 원순서 집합 <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여 <math>(\operatorname{Cofin}(X),\subseteq)</math>와 <math>(\operatorname{Coinit}(X),\subseteq)</math> 둘 다 모든 [[상한]]을 갖는다.

그러나 두 공종 집합의 교집합은 공종 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, [[자연수]]의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb N,\le)</math>에서, [[짝수]]의 집합 <math>2\mathbb N</math>과 [[홀수]]의 집합 <math>2\mathbb N+1</math>은 각각 공종 집합이지만, 그 [[교집합]]인 [[공집합]]은 공종 집합이 아니다.

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math>와 비교 가능한 [[극대 원소]] <math>m\ge x</math>가 존재한다.
그렇다면, <math>X</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 <math>(X,\lesssim)</math>의 공종 집합이다.
* 임의의 [[극대 원소]] <math>m\in\max X</math>에 대하여, <math>x\sim s</math>인 <math>s\in S</math>가 존재한다. 즉, <math>[x]_\sim\cap S\ne\varnothing</math>이다.
특히, <math>X</math>가 추가로 [[부분 순서 집합]]이라면, <math>\operatorname{Cofin}(X)</math>의 최소 원소는 <math>\max X</math> (즉, <math>X</math>의 최대 원소들의 집합)이다.

== 예 ==
[[자연수]]의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb N,\le)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq\mathbb N</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 <math>(\mathbb N,\le)</math>의 공종 집합이다.
* <math>S</math>는 [[무한 집합]]이다.

[[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 <math>(X,\le)</math>의 공종 집합이다.
* 만약 <math>X</math>가 [[최대 원소]] <math>m\in X</math>를 갖는다면, <math>m\in S</math>이다. 만약 <math>X</math>가 [[최대 원소]]를 갖지 않는다면, <math>S</math>는 [[상계 (수학)|상계]]를 갖지 않는다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cofinal set}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Cofinal_Subset|제목=Definition: cofinal subset|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Subset_of_Natural_Numbers_is_Cofinal_iff_Infinite|제목=Subset of natural numbers is cofinal iff infinite|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:순서론]]