공종도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''공종도'''(共終度, {{llang|en|cofinality}})는 주어진 [[원순서 집합]]의 [[공종 집합]]의 최소 [[집합의 크기|크기]]이다. 이는 [[원순서 집합]]의 일종의 복잡도를 나타낸다.

== 정의 ==
임의의 [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여, <math>X</math>의 '''공종도''' <math>\operatorname{cf}X</math>는 <math>X</math>의 [[공종 집합]]들의 [[집합의 크기|크기]]들의 최솟값이다.<ref name="Shelah">{{저널 인용|제목=Cardinal arithmetic for skeptics|이름=Saharon|성=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|arxiv=math/9201251|bibcode=1992math......1251S|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=26|호=2|날짜=1992-04|쪽=197–210|doi=10.1090/S0273-0979-1992-00261-6|mr=1112424|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|198, §1}} 마찬가지로, <math>X</math>의 '''공시작도''' <math>\operatorname{cf}(X^{\operatorname{op}})</math>는 <math>X</math>의 [[공시작 집합]]들의 [[집합의 크기|크기]]들의 최솟값이다.

=== 순서수의 공종도 ===
[[정렬 전순서 집합]]의 부분 집합은 항상 [[정렬 전순서 집합]]이다. 이 경우, [[순서수]] <math>\alpha</math>의 [[공종 집합]]들의 순서형들의 최솟값은 항상 [[기수 (수학)|기수]]이며, 이는 <math>\alpha</math>의 공종도와 일치한다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-09-12|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|32, Definition I.10.30}}

=== 기수의 공종도 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>의 '''공종도''' <math>\operatorname{cf}\kappa</math>는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 <math>\kappa</math>의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.
:<math>\operatorname{cf}\kappa=\min\left\{|I|\colon\kappa=\sum_{i\in I}\lambda_i,\;\forall i\colon\lambda_i<\kappa\right\}</math>
즉, <math>\kappa</math>를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

[[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 순서수를 '''정칙 기수'''(正則基數, {{llang|en|regular cardinal}})라고 한다.
* 공종도 함수의 [[고정점]]이다. 즉, <math>\alpha=\operatorname{cf}\alpha</math>이다.<ref name="Shelah"/>{{rp|198, §1}}<ref name="Kunen"/>{{rp|33, Definition I.10.34}}
* 임의의 [[순서수]]들의 집합 <math>S\subseteq\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\textstyle\alpha=\sup_{\operatorname{Ord}}S</math>라면 (즉, <math>S\subseteq\alpha</math>가 [[공종 집합]]이라면) <math>\alpha</math>는 <math>(S,\le)</math>와 순서 동형이다.
* <math>\alpha</math>는 [[기수 (수학)|기수]]이며, <math>\alpha\ne2</math>이며, <math>\alpha</math>개 미만의, <math>\alpha</math> 미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 [[기수 (수학)|기수]]의 집합 <math>(\kappa_i)_{i\in I}</math>에 대하여 <math>\textstyle\alpha\le\sum_{i\in I}\kappa</math>라면 <math>|I|\ge\alpha</math>이거나, <math>\kappa_i\ge\alpha</math>인 <math>i\in I</math>가 존재한다. (여기서 <math>\textstyle\sum</math>은 기수의 합이다.)
* <math>\alpha\ne2</math>는 [[기수 (수학)|기수]]이며, [[집합의 크기|크기]]가 <math>\alpha</math> 미만인 [[집합]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Set}_{<\alpha}</math>는 크기 <math>\kappa</math> 미만의 모든 [[쌍대 극한]]을 갖는다.
(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.)
만약 <math>\kappa>\operatorname{cf}\kappa</math>라면, <math>\kappa</math>를 '''특이 기수'''(特異基數, {{llang|en|singular cardinal}})라고 한다. <math>\kappa<\operatorname{cf}\kappa</math>는 불가능하다.

== 성질 ==
공종도 함수는 [[멱등 함수]]이다.<ref name="Kunen"/>{{rp|33, Corollary I.10.33}} 즉, 모든 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여
:<math>\operatorname{cf}\operatorname{cf}\alpha=\operatorname{cf}\alpha</math>
이다. 즉, <math>\operatorname{cf}\alpha</math>는 항상 정칙 기수이다.

임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{cf}\alpha\le\alpha</math>
이는 <math>\alpha</math> 전체가 자명하게 [[공종 집합]]이기 때문이다.

임의의 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 다음이 성립한다. (이는 [[쾨니그의 정리 (집합론)|쾨니그의 정리]]에 의하여 함의된다.)
:<math>\operatorname{cf}\kappa\le\kappa<\min\left\{\operatorname{cf}(2^\kappa),\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}\right\}\le2^\kappa</math>

1을 제외한 모든 정칙 기수는 [[극한 순서수]]이다.

== 예 ==
=== 유한 순서수 ===
임의의 양의 [[자연수]] <math>n>0</math>의 경우, ([[따름 순서수]]이므로) <math>\operatorname{cf}n=1</math>이다. 0의 경우 <math>\operatorname{cf}0=0</math>이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{cf}\alpha=0</math>
* <math>\alpha=0</math>

=== 따름 순서수 ===
임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 다음 두 조건이 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{cf}\alpha=1</math>
* <math>\alpha</math>는 [[따름 순서수]]이다.
이는 <math>\{\alpha\}</math>가 <math>\alpha+1</math>의 [[공종 집합]]이기 때문이다.

=== 극한 순서수 ===
임의의 [[극한 순서수]] <math>\lambda</math>에 대하여,
:<math>\aleph_\lambda=\sum_{\alpha<\lambda}\aleph_\alpha</math>
이므로
:<math>\operatorname{cf}\aleph_\lambda=\operatorname{cf}\lambda</math>
이다.

<math>\operatorname{cf}\aleph_0=\aleph_0</math>이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여
:<math>\operatorname{cf}\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha+1}</math>
이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 <math>\aleph_\omega</math>이며,
:<math>\operatorname{cf}\aleph_\omega=\operatorname{cf}\omega=\aleph_0</math>
이다. 반면
:<math>\aleph_0<\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})</math>
이므로,
:<math>2^{\aleph_0}\ne\aleph_\omega</math>
이다. 그러나 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 <math>2^{\aleph_0}</math>은 <math>\aleph_\omega</math>보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 [[선택 공리]]를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.
* <math>\aleph_0</math>
* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, <math>\aleph_{\alpha+1}</math>
* 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\operatorname{cf}\kappa</math>

=== 정렬 전순서 집합이 아닌 경우 ===
실수의 [[전순서 집합]] <math>\mathbb R</math>의 공종도는 <math>\operatorname{cf}(\mathbb R)=\aleph_0</math>이다. 이는 자연수의 [[가산 무한 집합]] <math>\mathbb N\subseteq\mathbb R</math>이 <math>\mathbb R</math>의 [[공종 집합]]이기 때문이다.

[[확장된 실수]]의 [[전순서 집합]] <math>\bar{\mathbb R}=[-\infty,\infty]</math>의 공종도는 1이다. 이는 <math>\bar{\mathbb R}</math>가 [[최대 원소]] <math>\infty</math>를 갖기 때문이다.

집합 <math>S</math>의 진부분 집합들의 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(S)\setminus\{S\}</math>의 공종도는 <math>|S|</math>이다. 이는 [[공종 집합]]
:<math>\{S\setminus\{s\}\colon s\in S\}\subseteq \operatorname{Pow}(S)\setminus\{S\}</math>
이 최소의 [[공종 집합]]이기 때문이다.

[[닫힌 원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 공종도는 <math>X</math>의 [[극대 원소]]들의 [[동치류]]들의 수이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ordinal number}}
* {{nlab|id=cofinality|title=Cofinality}}
* {{nlab|id=regular cardinal|title=Regular cardinal}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Cofinality|제목=Definition: cofinality|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Regular_Cardinal|제목=Definition: regular cardinal|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Singular_Cardinal|제목=Definition: singular cardinal|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:기수]]
[[분류:순서수]]
[[분류:순서론]]