공리 문서 원본 보기

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'''공리'''(公理, {{llang|en|axiom}})는 [[논리학]]이나 [[수학]] 등의 [[이론]]체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 [[명제]](命題)이다. [[증명 (수학)|증명]]할 필요가 없이 자명한 진리이자 다른 명제들을 증명하는 데 전제가 되는 원리로서 가장 기본적인 가정을 가리킨다.
[[지식]]이 참된 것이 되기 위해서는 근거가 필요하나 근거를 소급해 보면 더 이상 [[증명]]하기가 곤란한 명제에 다다른다. 즉, '질문이나 의문의 여지없이 참이라고 받아들여야 하는 것'이 바로 공리이다. 참고로 [[증명]]이 필요한 [[명제]] 중 [[증명]]이 완료된 [[명제]]를 [[정리]]라고 한다.

어떤 한 형식체계에 관한 논의를 위한 전제로 주어진 공리들의 집합을 '''공리계'''(公理系)라고 부른다. 한편, 공리를 그 전제로 시작하여, 연역적 수단에 의해 유도되는 명제는 [[정리]](定理)라고 한다.

공리 외에 '''공준'''(公準, {{llang|en|postulate}})이라는 용어도 사용되며, '공리'가 여러 학문적 영역에서 공통으로 적용될 수 있는 자명한 가정을 가리킴에 반해, '공준'은 각 영역별로 자명하게 받아들여지는 가정을 일컫는 말이나 현대에 들어서는 이 두 단어를 같은 의미로 쓰는 경우가 일반적이다.

== 공리의 예 ==
다음은 공리의 예이다.

* 명제 P가 성립한다면, 명제 'P 또는 Q'도 성립한다.
* 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다. ([[유클리드 기하학]])
* <math>a=b</math> 이면, <math>a+c = b+c</math>이다.
* 어떤 자연수에 대해서도, 그 수의 '다음' 자연수(따름수)가 존재한다. ([[페아노 공리계|페아노의 공리]])
* 어떤 것도 포함하지 않는 [[집합]]([[공집합]])이 존재한다. ([[공리적 집합론]])
* 집합 S와 조건식 P가 주어졌을 때, S의 원소 중에서, 조건 P(x)를 만족하는 x만으로 구성된 집합을 만들 수 있다. (공리적 집합론)

한편, 공리를 근거로 하여 증명되는 명제는 정리이다.

예) [[삼각형]]의 [[내각]]의 합은 180도이다. (유클리드 기하학)

== 역사 ==
{{llang|en|axiom|액시엄}}의 어원은 {{llang|grc|ἀξίωμα|악시오마}}이며, '가치가 있다 간주되거나 그 자체로 명백하다'라는 의미를 가지고 있다. 이 단어의 개념이 기술된 현존하는 문서 중 가장 오래된 것은, 기원전 300년 경에 그리스에서 쓰인 [[에우클레이데스의 원론]]이다.

원론 제1권에는 다음 5개의 공리(또는 공준)가 열거되어 있다.

* 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
* 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다.
* 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다.
* 모든 [[직각]]은 서로 같다.
* 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. ([[평행선 공준|평행선의 공리]], 제5공리)

제5공리는, '평행선의 엇각은 같다', '한 직선의 바깥의 어떤 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 하나가 있다'라는 명제와 동치인 것으로 알려져 있으며, '평행선의 공리'라고도 불린다. 이 공리는 다른 네 공리와는 달리 자명하지 않아, 이 공리를 다른 네 공리에서 유도할 수 있는가를 둘러싸고 의문이 이어왔다. (평행선의 문제)

19세기에 접어들어, [[카를 프리드리히 가우스]], [[보여이 야노시]], [[니콜라이 로바쳅스키]] 등에 의해, 유클리드의 최초의 4개의 공리가 성립하면서, 제5공리가 성립하지 않는 기하학 체계([[쌍곡기하학]])가 구성되게 되었다. 제5공리를 가정으로 발전된 기하학(유클리드 기하학)에 대하여, 쌍곡기하학처럼 최초의 4개 공리는 만족하나 제5공리를 만족하지 않는 기하학을 [[비유클리드 기하학]]이라 부른다. 쌍곡기하학의 발견으로, 서로 양립하지 않는 전제에 근거하여 여러 가지 수학의 체계가 있을 수 있음이 인식되게 되었다.

20세기를 필두로, [[다비트 힐베르트]]를 중심으로 수학의 추상화 및 형식화가 추진되며, 공리에 의거하여 이론을 전개하려는 입장이 강조되었다. 공리계에서 얻어야 할 타당성으로 모순이 유도되지 않을 것, 반드시 성립할 명제는 모두 증명이 가능할 것 등이 여기서 언급되었다.

힐베르트는 유한의 데이터에 의해 결정되며 타당성을 갖춘 공리계를 바탕으로 수학을 여러 영역의 전개에 힘썼다. 힐베르트의 생각은 [[펠릭스 하우스도르프]]의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 이론, [[니콜라 부르바키]]의 수학의 재편성 등을 통해 20세기 수학에 큰 영향을 끼쳤다. 그러나 [[1931년]] [[쿠르트 괴델]]이 제창한 [[괴델의 불완전성 정리]]에 의해 '보통의 수학'(자연수론)의 형식화의 한계가 밝혀지며, 완전하고 모순이 없는 공리계로 형식화하는 것은 불가능함이 밝혀졌다.

== 같이 보기 ==
* [[에우클레이데스의 원론]]
* [[다비트 힐베르트]]
** [[힐베르트 공리계]]
* [[연역]]
* [[형식주의 (수학)|형식주의]]

{{글로벌세계대백과사전}}

{{전거 통제}}

[[분류:공리| ]]
[[분류:수학 용어]]
[[분류:논리학 개념]]
[[분류:가정 (논리학)]]
[[분류:형식 체계]]
[[분류:인식론 개념]]
[[분류:윤리학 개념]]
[[분류:형이상학 개념]]
[[분류:과학철학 개념]]
[[분류:철학 용어]]