공간 채움 곡선 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''공간 채움 곡선'''({{llang|en|space-filling curve}}) 또는 '''페아노 곡선'''({{llang|en|Peano curve}})은 모든 점을 적어도 한 번 이상 지나는, 2차원 이상의 공간 위의 [[곡선]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>으로 가는 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]] <math>[0,1]\to X</math>은, <math>X</math>가 2차원 이상의 [[다양체]]인 경우 흔히 '''공간 채움 곡선'''이라고 부른다.

== 성질 ==
=== 한-마주르키에비치 정리 ===
'''한-마주르키에비치 정리'''({{llang|en|Hahn–Mazurkiewicz theorem}})에 따르면, [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]] <math>[0,1]\to X</math>가 존재한다.
* [[콤팩트 공간]]이며, [[연결 공간]]이며, [[국소 연결 공간]]이며, [[거리화 가능 공간]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이며, [[연결 공간]]이며, [[국소 연결 공간]]이며, [[제2 가산 공간]]이다.

=== 네토 정리 ===
<math>m</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 및 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>N</math>이 주어졌다고 하자. '''네토 정리'''({{llang|en|Netto’s theorem}})에 따르면, 만약 <math>m\ne n</math>이라면, [[전단사]] [[연속 함수]] <math>M\to N</math>은 존재하지 않는다.
== 같이 보기 ==
* [[힐베르트 곡선]]

[[분류:연속 함수]]