공간군 문서 원본 보기

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[[수학]]과 [[결정학]]에서 '''공간군'''({{lang|en|space group}})이란 [[결정 구조]]의 대칭성을 수학적으로 기술한 것이다.

== 정의 ==
3차원에서의 공간군은 (7 [[결정계]]에 속한) 14 [[브라베 격자]]와 32 [[결정학적 점군]]의 조합으로 이루어진다. 따라서 공간군은 lattice centering과 점군의 회전, 반사, 회전반전 대칭 조작을 갖는 [[단위 격자]]의 병진대칭(반복)으로 나타난다. 더욱이, 공간군에서는 점군과 달리 병진의 요소가 있기 때문에 점군에 없는 대칭 조작이 나타나는데, 회전 조작과 병진이 결합한 나사축과 반사 조작과 병진이 결합한 미끄럼면이 바로 그것이다. 이 대칭 조작들의 조합으로 결정이 가질 수 있는 230개의 공간군을 모두 표현할 수 있다.

=== 미끄럼면과 나사축 ===
공간군을 구성하는 대칭 조작들 중에 2가지는 [[브라베 격자]]나 [[점군]]의 대칭 조작과 대응하지 않는다. 이 2가지를 각각 미끄럼면과 나사축이라고 한다.

어떤 한 면에 대해 평행하게 병진하면서 반사 조작이 나타나는 경우 이 면을 '''미끄럼면'''이라고 한다. 이 면은 병진이 일어나는 축에 따라 ''a''나 ''b'', 혹은 ''c''로 나타낸다. ''n''과 ''d''미끄럼면도 있는데, ''n''은 대각선 방향으로 단위 격자의 대각선 길이의 1/2만큼 병진하는 미끄럼면을 나타내고, ''d''미끄럼면은 대각선 방향으로 1/4만큼 병진하는 미끄럼면을 나타낸다. ''d''미끄럼면은 '다이아몬드 미끄럼면'이라고도 하는데 그 이유는 다이아몬드의 결정구조에서 볼 수 있기 때문이다.

어떤 한 축을 따라 회전 조작과 병진이 함께 나타날 때 그 축을 '''나사축'''이라고 한다. 나사축은 회전의 정도를 나타내는 숫자와 병진을 나타내는 숫자로 표현한다. 앞의 숫자는 몇 번 회전 조작을 하였을 때 1회전이 되는가를 표현한다(즉, 3이라면 3번 회전 조작을 해야 360도 회전하게 된다는 것을 나타낸다.). 병진의 정도는 그 뒤에 작게 표시하는데, 한 번의 회전 조작을 할 때(반시계방향임을 유의) 얼마나 병진하는지 격자벡터에 대한 비율로 표현한다. 예를 들어 2<sub>1</sub>은 한 번 회전 조작을 할 때 격자벡터의 1/2만큼 병진하는 2회전 나사축을 말하며, 6<sub>5</sub>는 한 번에 격자 벡터의 5/6 만큼 병진하는 6회전 나사축을 나타낸다.

=== 표현 ===
공간군을 식별하는 방법에는 여러가지가 있다. [[국제 결정학 연합]]은 모든 공간군에 각각 다른 번호를 붙인 표를 출판한 바 있다. 이와 다른 도식으로는 [[헤르만-모갱 표기법]]과 [[쇤플리스 표기법]]이 많이 쓰인다.

헤르만-모긴(혹은 국제) 표기법은 4개의 기호로 구성되어있으며 결정학에서 가장 일반적으로 쓰이는 표기법이다. 첫 번째 기호는 [[브라베 격자]]에서의 lattice centering을 나타내며 그 뒤에 있는 3개의 기호는 대칭성이 높은 방향을 따라 투영하였을 때 나타나는 (두드러진)대칭 조작을 표현한다. 뒤 3개의 기호는 [[점군]]의 표현과 동일한데, 나사축과 미끄럼면의 표현이 추가된 것이다. 예를 들어 [[석영]]의 공간군은 ''P''3<sub>1</sub>21로 표현되는데, P는 격자종류(Primitive cell)를 나타내고, 3<sub>1</sub>21에서 3회전 나사축과 2회전축을 갖고 있음을 알 수 있다. 여기서 이 공간군이 어느 결정계에 포함되는지 명백하게 나타나지는 않는다는 것을 주의한다. 그러나 뒤 3개의 점군을 나타내는 기호를 보면 쉽게 알 수 있다.(''P''3<sub>1</sub>21의 경우 [[삼방정계]]에 포함된다.)

== 3차원 공간군 목록 ==

{| align=center cellpadding=2
|-----
! bgcolor=#c0ffff | [[결정학적 점군|결정족]]
! bgcolor=#a0ff80 | #
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[삼사정계]]
|-----
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[1]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>1</small>
| P1 || colspan=7|&nbsp;
|-----
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar1</math>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>2</small>
| P<math>\bar1</math> || colspan=7|&nbsp;
|-----
| bgcolor=#c0ffff | &nbsp;
| bgcolor=#a0ff80 | &nbsp;
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[단사정계]]
|-----
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[2]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>3-5</small>
| P2 || P2<sub>1</sub> || C2 || colspan=5|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[m]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>6-9</small>
| Pm || Pc || Cm || Cc || colspan=4|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 2/m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>10-15</small>
| P2/m || P2<sub>1</sub>/m || C2/m || P2/c || P2<sub>1</sub>/c || C2/c || colspan=2| &nbsp;
|-----
| bgcolor=#c0ffff | &nbsp;
| bgcolor=#a0ff80 | &nbsp;
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[사방정계]]
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=2| [[222]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=2| <small>16-24</small>
| P222 || P222<sub>1</sub> || P2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2 || P2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> || C222<sub>1</sub> || C222 || F222 || I222
|----- 
| I2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> || colspan=7| &nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=3 | mm2
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=3| <small>25-46</small>
| Pmm2 || Pmc2<sub>1</sub> || Pcc2 || Pma2 || Pca2<sub>1</sub> || Pnc2 || Pmn2<sub>1</sub> || Pba2
|----- bgcolor=#f4f4f4
| Pna2<sub>1</sub> || Pnn2 || Cmm2 || Cmc2<sub>1</sub> || Ccc2 || Amm2 || Abm2 || Ama2
|----- bgcolor=#f4f4f4
| Aba2 || Fmm2 || Fdd2 || Imm2 || Iba2 || Ima2 || colspan=2| &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=4 | mmm
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=4| <small>47-74</small>
| width=72| Pmmm || width=72| Pnnn || width=72| Pccm || width=72| Pban || width=72| Pmma || width=72| Pnna || width=72| Pmna || width=72| Pcca
|----- 
| Pbam || Pccn || Pbcm || Pnnm || Pmmn || Pbcn || Pbca || Pnma
|----- 
| Cmcm || Cmca || Cmmm || Cccm || Cmma || Ccca || Fmmm || Fddd
|----- 
| Immm || Ibam ||Ibca || Imma || colspan=4|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff | &nbsp;
| bgcolor=#a0ff80 | &nbsp;
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[정방정계]]
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[4]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>75-80</small>
| P4 || P4<sub>1</sub> || P4<sub>2</sub> || P4<sub>3</sub> || I4 || I4<sub>1</sub> || colspan=2|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar4</math>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>81-82</small>
| P<math>\bar4</math> || I<math>\bar4</math> || colspan=6|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 4/m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>83-88</small>
| P4/m || P4<sub>2</sub>/m || P4/n || P4<sub>2</sub>/n || I4/m || I4<sub>1</sub>/a || colspan=2| &nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=2| [[422]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=2| <small>89-98</small>
| P422 || P42<sub>1</sub>2 || P4<sub>1</sub>22 || P4<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2 || P4<sub>2</sub>22 || P4<sub>2</sub>2<sub>1</sub>2 || P4<sub>3</sub>22 || P4<sub>3</sub>2<sub>1</sub>2
|----- bgcolor=#f4f4f4
| I422 || I4<sub>1</sub>22 || colspan=6| &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=2| 4mm
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=2| <small>99-110</small>
| P4mm || P4bm || P4<sub>2</sub>cm || P4<sub>2</sub>nm || P4cc || P4nc || P4<sub>2</sub>mc || P4<sub>2</sub>bc
|----- 
| I4mm || I4cm || I4<sub>1</sub>md || I4<sub>1</sub>cd || colspan=4| &nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=2| <math>\bar4</math>2m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=2 | <small>111-122</small>
| P<math>\bar4</math>2m || P<math>\bar4</math>2c || P<math>\bar4</math>2<sub>1</sub>m || P<math>\bar4</math>2<sub>1</sub>c || P<math>\bar4</math>m2 || P<math>\bar4</math>c2 || P<math>\bar4</math>b2 || P<math>\bar4</math>n2
|----- bgcolor=#f4f4f4
| I<math>\bar4</math>m2 || I<math>\bar4</math>c2 || I<math>\bar4</math>2m || I<math>\bar4</math>2d || colspan=4| &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=3| 4/mmm
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=3| <small>123-142</small>
| P4/mmm || P4/mmc || P4/nbm || P4/nnc || P4/mbm || P4/nnc || P4/nmm || P4/ncc
|----- 
| P4<sub>2</sub>/mmc || P4<sub>2</sub>/mcm || P4<sub>2</sub>/nbc || P4<sub>2</sub>/nnm || P4<sub>2</sub>/mbc || P4<sub>2</sub>/mnm || P4<sub>2</sub>/nmc || P4<sub>2</sub>/ncm
|----- 
| I4/mmm || I4/mcm || I4<sub>1</sub>/amd || I4<sub>1</sub>/acd
|----- 
| bgcolor=#c0ffff | &nbsp;
| bgcolor=#a0ff80 | &nbsp;
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[삼방정계]]
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[3]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>143-146</small>
| P3 || P3<sub>1</sub> || P3<sub>2</sub> || R3 || colspan=4|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar3</math>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>147-148</small>
| P<math>\bar3</math> || R<math>\bar3</math> || colspan=6| &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[32]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>149-155</small>
| P312 || P321 || P3<sub>1</sub>12 || P3<sub>1</sub>21 || P3<sub>2</sub>12 || P3<sub>2</sub>21 || R32 || &nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 3m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>156-161</small>
| P3m1 || P31m || P3c1 || P31c || R3m || R3c || colspan=2| &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar3</math>m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>162-167</small>
| P<math>\bar3</math>1m || P<math>\bar3</math>1c || P<math>\bar3</math>m1 || P<math>\bar3</math>c1 || R<math>\bar3</math>m || R<math>\bar3</math>c || colspan=2| &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff | &nbsp;
| bgcolor=#a0ff80 | &nbsp;
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[육방정계]]
|-----
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[6]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>168-173</small>
| P6 || P6<sub>1</sub> || P6<sub>5</sub> || P6<sub>2</sub> || P6<sub>4</sub> || P6<sub>3</sub> || colspan=2|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar6</math>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>174</small>
| P<math>\bar6</math> || colspan=7|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 6/m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>175-176</small>
| P6/m || P6<sub>3</sub>/m || colspan=6|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 622
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>177-182</small>
| P622 || P6<sub>1</sub>22 || P6<sub>5</sub>22 || P6<sub>2</sub>22 || P6<sub>4</sub>22 || P6<sub>3</sub>22 || colspan=2|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 6mm
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>183-186</small>
| P6mm || P6cc || P6<sub>2</sub>cm || P6<sub>3</sub>mc || colspan=4|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar6</math>m2
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>187-190</small>
| P<math>\bar6</math>m2 || P<math>\bar6</math>c2 || P<math>\bar6</math>2m || P<math>\bar6</math>2c || colspan=4|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| 6/mmm
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>191-194</small>
| P6/mmm || P6/mcc || P6<sub>3</sub>/mcm || P6<sub>3</sub>/mmc || colspan=4|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff | &nbsp;
| bgcolor=#a0ff80 | &nbsp;
! bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[입방정계]]
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[23]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>195-199</small>
| P23 || F23 || I23 || P2<sub>1</sub>3 || I2<sub>1</sub>3 || colspan=3|&nbsp;
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| m<math>\bar3</math>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>200-206</small>
| Pm<math>\bar3</math> || Pn<math>\bar3</math> || Fm<math>\bar3</math> || Fd<math>\bar3</math> || I<math>\bar3</math> || Pa<math>\bar3</math> || Ia<math>\bar3</math> || &nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| [[432]]
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>207-214</small>
| P432 || P4<sub>2</sub>32 || F432 || F4<sub>1</sub>32 || I432 || P4<sub>3</sub>32 || P4<sub>1</sub>32 || I4<sub>1</sub>32
|----- bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center| <math>\bar4</math>3m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center| <small>215-220</small>
| P<math>\bar4</math>3m || F<math>\bar4</math>3m || I<math>\bar4</math>3m || P<math>\bar4</math>3n || F<math>\bar4</math>3c || I<math>\bar4</math>3d || colspan=2|&nbsp;
|----- 
| bgcolor=#c0ffff align=center valign=center rowspan=2| m<math>\bar3</math>m
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign=center rowspan=2| <small>221-230</small>
| Pm<math>\bar3</math>m || Pn<math>\bar3</math>n || Pm<math>\bar3</math>n || Pn<math>\bar3</math>m || Fm<math>\bar3</math>m || Fm<math>\bar3</math>c || Fd<math>\bar3</math>m || Fd<math>\bar3</math>c
|----- 
| Im<math>\bar3</math>m || Ia<math>\bar3</math>d
|}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Hans|성=Wondratschek|제목=International Tables for Crystallography A|연도=2006|장=8.1 Basic concepts|쪽=720–725|doi=10.1107/97809553602060000514|isbn=978-0-7923-6590-7|url=http://it.iucr.org/Ab/ch8o1v0001/}}

== 같이 보기 ==
* [[점군]]
* [[결정학적 점군]]
* [[평면군]]
* [[브라베 격자]]
* [[결정계]]

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* [http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-table 공간군의 목록]

{{전거 통제}}

[[분류:지구과학]]
[[분류:지질학]]
[[분류:광물학]]
[[분류:결정학]]
[[분류:대칭]]
[[분류:유한군]]
[[분류:이산 군]]