곱셈 역원 문서 원본 보기

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[[파일:Hyperbola one over x.svg|섬네일|오른쪽|300px|함수 {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}}의 그래프. 0을 제외한 모든 ''x''에 대해 ''y''는 ''x''의 곱셈 역원을 나타낸다.]]

[[수학]]에서, 어떤 수의 '''곱셈 역원'''(-逆元, {{llang|en|multiplicative inverse}}) 또는 '''역수'''(逆數, {{llang|en|reciprocal}})는 그 수와 [[곱셈|곱하면]] [[곱셈 항등원]]([[1]])이 되는 수를 말한다. '''두 수의 곱이 1'''이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한다. <math>x</math>의 곱셈 역원은 <math>1/x</math>와 같이 표기하거나 <math>x^{-1}</math>와 같이 쓸 수 있다. 곱하여 1이 되는 두 수를 '서로 곱셈 역원'이라 하기도 하는데, 이는 곱셈 역원 관계가 [[대칭 관계]]이기 때문에 가능한 표현이다. 즉, 만약 <math>x</math>가 <math>y</math>의 곱셈 역원이라면, <math>y</math> 역시 <math>x</math>의 곱셈 역원이다.

예를 들어, [[유리수]] <math>3/5</math>의 곱셈 역원은 <math>5/3</math>이다. [[실수]] <math>\sqrt3</math>의 곱셈 역원은 <math>\sqrt3/3</math>이며, [[복소수]] <math>1+i</math>의 곱셈 역원은 <math>(1-i)/2</math>이다. 보다 일반적으로, 유리수 <math>m/n</math>의 곱셈 역원은 항상 <math>n/m</math>이며, 복소수 <math>a+bi</math>의 곱셈 역원은 항상 <math>(a-bi)/(a^2+b^2)</math>이다. 0이 아닌 복소수의 곱셈 역원은 항상 존재하며, 또한 항상 유일하다. 그러나 0은 곱셈 역원을 가질 수 없는데, 이는 0에 아무런 수를 곱하여도 0이 되기 때문이다. 각 실수를 그 곱셈 역원으로 대응시키는 [[함수]] <math>f(x)=1/x</math>는 [[반비례 함수]]의 예이다. 이러한 이름은 변숫값과 함숫값이 [[반비례]] 관계를 이룬다는 데에서 왔다.

곱셈 역원의 개념은 모든 [[모노이드]]에서 다룰 수 있다. 이 경우 [[교환 법칙]]이 성립한다는 보장이 없으므로 곱셈 역원은 두 가지 순서로 곱하였을 때 모두 [[곱셈 항등원]]인 두 원소의 관계로 정의된다. 단지 왼쪽 또는 오른쪽에 곱하였을 때 곱셈 항등원이 된다고 요구할 경우 [[왼쪽 역원]]과 [[오른쪽 역원]]의 개념을 얻는다.모든 원소가 곱셈 역원을 갖는 모노이드를 [[군 (수학)|군]]이라고 한다. 곱셈 역원의 개념은 [[환 (수학)|환]]에서도 다뤄지며, 이 경우 곱셈 역원을 갖는 원소는 [[가역원]]이라고 불린다. 이들 가역원은 [[가역원군]]이라는 군을 이룬다. 환의 가역원이 유일한 역원을 가질 필요충분조건은 모든 0이 아닌 원소가 가역원을 갖는 경우를 [[나눗셈환]]이라고 하며, 여기에 곱셈 교환 법칙을 추가하면 가장 익숙한 [[체 (수학)|체]]의 정의가 완성된다.

== 정의 ==
[[모노이드]] <math>(M,\cdot,1_M)</math>의 [[이항 연산]]이 [[곱셈]]으로 간주될 경우, 그 [[항등원]]은 [[곱셈 항등원]]으로 간주된다. 이 경우 모노이드의 각 원소 <math>m\in M</math>에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>m^{-1}\in M</math>가 존재할 경우, <math>m^{-1}</math>를 <math>m</math>의 '''곱셈 역원'''이라고 한다.
:<math>mm^{-1}=m^{-1}m=1_M</math>
곱셈 역원을 <math>x^{-1}</math>와 같이 표기할 수 있는 이유는 각 원소의 곱셈 역원이 많아야 하나인 데 있다. 이는 각 원소 <math>m\in M</math>의 두 곱셈 역원 <math>m',m''\in M</math>이 모노이드의 [[결합 법칙]]에 따라 다음을 만족시키기 때문이다.
:<math>m'mm''=m'(mm'')=m'1_M=m'</math>
:<math>m'mm''=(m'm)m''=1_Mm''=m''</math>

== 성질 ==
[[군 (수학)|군]](모든 원소가 곱셈 역원을 갖는 군) <math>G</math>의 경우 곱셈 역원을 하나의 [[일항 연산]] <math>^{-1}\cdot G\to G</math>으로 치부할 수 있다. 역원 연산은 군의 [[반대 자기 동형]]을 이룬다. 다시 말해, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}</math>
[[환 (수학)|환]]의 [[가역원]]은 항상 [[정칙원]]이다. 이는 다음과 같은 이유에서다. 만약 <math>r\in R</math>가 가역원일 경우, 만약 <math>rs=0_R</math>이라면, 양변의 왼쪽에 역원 <math>r^{-1}</math>을 곱하면 <math>r^{-1}rs=r^{-1}0_R</math>이 되고, 정리하면 <math>s=0_R</math>이 된다. 마찬가지 이유로 만약 <math>sr=0_R</math>이라면 <math>s=0_R</math>이다.

반면 환의 정칙원은 가역원이 아닐 수 있다. 예를 들어, [[정수환]]의 -1, 0, 1을 제외한 모든 원소는 정칙원이지만 가역원이 아니다. 반면 [[유한 집합|유한]]환의 모든 정칙원은 가역원이다. 이는 정칙원에 의한 왼쪽 곱셈이 [[단사 함수]]이며, 유한 집합 위의 단사 함수는 항상 [[전사 함수]]이기 때문이다. 특히, [[유한 집합|유한]] [[정역]]은 항상 [[체 (수학)|체]]를 이룬다.

[[자명환]]이 아닌 환에서 0의 곱셈 역원은 존재하지 않는다. 이는 모든 가역원이 정칙원이라는 명제의 특수한 경우이다. 모든 원소가 곱셈 역원을 갖춘 경우, 특히 모든 체의 경우, [[나눗셈]]을 정의할 수 있는데, 이 경우 나누는수는 0이 될 수 없다. 자명환의 경우 0의 곱셈 역원은 0 자기 자신이 된다.

== 예 ==
* [[자연로그의 밑|''e'']]의 곱셈 역원 <math>1/e</math>는 [[함수]] <math>f(x)=x^x</math>가 [[최솟값]]을 취하는 점이다. 즉, 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>(1/e)^{1/e}\le x^x</math>이다.
* [[황금비]] <math>\varphi=0.625\dots</math>의 곱셈 역원 <math>1/\varphi=1.625\dots</math>은 동일한 소수 부분을 갖는다.
* <math>\sqrt{n+1}+\sqrt n</math>의 곱셈 역원은 <math>\sqrt{n+1}-\sqrt n</math>이다. 특히 <math>\sqrt{n^2+1}+n</math>의 곱셈 역원은 <math>\sqrt{n^2+1}-n</math>인데, 이 둘은 같은 소수 부분을 갖는다.
* [[사인 함수|사인]] <math>\sin x</math>, [[코사인]] <math>\cos x</math>, [[탄젠트]] <math>\tan x</math>의 곱셈 역원은 각각 [[코시컨트]] <math>\csc x</math>, [[시컨트]] <math>\sec x</math> [[코탄젠트]] <math>\cot x</math>이다.
* [[유리수]] <math>m/n\in\mathbb Q</math>의 곱셈 역원은 <math>n/m</math>이다.
* [[복소수]] <math>z\in\mathbb C</math>의 곱셈 역원은 <math>\bar z/|z|^2</math>이다. 여기서 <math>\bar z</math>는 <math>z</math>의 [[켤레 복소수]], <math>|z|</math>는 <math>z</math>의 [[절댓값]]이다.
* [[정사각 행렬]]의 곱셈 역원을 [[역행렬]]이라고 한다. 이는 [[가우스 소거법]]을 통해 구할 수 있으며, [[고전적 수반 행렬]] 나누기 [[행렬식]]이라는 공식 역시 존재한다. 정사각 행렬은 역원을 가질 필요가 없다. 즉, [[행렬환]]은 <math>1\times1</math>의 경우를 제외하면 [[정역]]일 수 없다.

== 같이 보기 ==
* [[덧셈 역원]]
* [[역원]]
* [[분수 (수학)]]
* [[곱셈]]
* [[나눗셈]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MultiplicativeInverse|title=Multiplicative inverse}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:초등대수학]]
[[분류:곱셈]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:단항 연산]]