곱셈적 함수 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''곱셈적 함수'''(-的函數, {{llang|en|multiplicative function}}) 또는 '''곱산술 함수'''(-算術函數)는 [[서로소 (수론)|서로소]]인 두 정수의 곱셈을 보존하는 [[수론적 함수]]이다.

== 정의 ==
함수 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''곱셈적 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 만약 <math>\gcd\{m,n\}=1</math>이라면, <math>f(mn)=f(m)f(n)</math>이다.

함수 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''완전 곱셈적 함수'''(完全-的函數, {{llang|en|completely multiplicative function}})라고 한다.
* 임의의 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>f(mn)=f(m)f(n)</math>이다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 <math>\mathbb Z</math>의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.<ref name="pancd">{{서적 인용
|저자1=潘承洞
|저자2=潘承彪
|제목=初等数论
|url=https://archive.org/details/isbn_9787301216125
|언어=zh
|판=3
|총서=21世纪数学规划教材·数学基础课系列
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2013-01
|isbn=978-7-301-21612-5
}}</ref>{{rp|413}}

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
곱셈적 함수 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.<ref name="pancd" />{{rp|417}}
* <math>n\mapsto f(n^k)\qquad(k\in\mathbb Z^+)</math>
* <math>n\mapsto f(\gcd\{n,k\})\qquad(k\in\mathbb Z)</math>

=== 항등식 ===
곱셈적 함수 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>에 대하여, 만약 <math>n\in\mathbb Z^+</math>의 소인수 분해가
:<math>n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}</math>
일 경우, 다음이 성립한다.
:<math>f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_k^{a_k})</math>
만약 추가로 <math>f</math>가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
:<math>f(n)=f(p_1)^{a_1}f(p_2)^{a_2}\cdots f(p_k)^{a_k}</math>
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 [[상 (수학)|상]]에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.<ref name="pancd" />{{rp|416}}

곱셈적 함수 <math>f,g\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.<ref name="pancd" />{{rp|415; 417; 421, 따름정리3}}
:<math>f(1)=1\vee f(x)=k\delta_{1,x}</math>
:<math>f(m)f(n)=f(\gcd\{m,n\})f(\operatorname{lcm}\{m,n\})</math>
:<math>\sum_{d\mid n}\mu(d)f(d)=\prod_{p\mid n}(1-f(p))</math>
:<math>\sum_{d\mid n}\mu(d)^2f(d)=\prod_{p\mid n}(1+f(p))</math>
여기서 <math>\mu</math>는 [[뫼비우스 함수]]이다.

곱셈적 함수 <math>f\colon A\to\mathbb C</math>의 정의역 <math>A\subseteq\mathbb Z</math>이 <math>-1\in A</math>를 만족한다면,
:<math>f(-1)=\pm 1</math>
이다.<ref name="pancd" />{{rp|417}}

=== 디리클레 합성곱 ===
곱셈적 함수는 [[디리클레 합성곱]]에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 <math>f,g\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>의 디리클레 합성곱
:<math>f*g\colon n\mapsto\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d)</math>
와 [[디리클레 역원]]
:<math>f^{-1}\qquad(f^{-1}*f=f*f^{-1}=\delta_{\bullet,1})</math>
은 곱셈적 함수이다.<ref name="pancd" />{{rp|423, 정리5; 429, 문제22}}

곱셈적 함수 <math>f\colon\mathbb Z^+\to\mathbb C</math>에 대하여, 만약 <math>n\in\mathbb Z^+</math>의 소인수 분해가
:<math>n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}</math>
일 경우, 다음이 성립한다.<ref name="pancd" />{{rp|418, 정리1; 423, 식(27)}}
:<math>\sum_{d\mid n}f(d)=\prod_{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots+f(p_j^{a_j}))</math>
:<math>\sum_{d\mid n}\mu(n/d)f(d)=\prod_{j=1}^k(f(p_j^{a_j})-f(p_j^{a_j-1}))</math>
만약 추가로 <math>f</math>가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\sum_{d\mid n}f(d)=\prod_{j=1}^k(1+f(p_j)+\cdots+f(p_j)^{a_j})</math>
:<math>\sum_{d\mid n}\mu(n/d)f(d)=\prod_{j=1}^k(f(p_j)^{a_j}-f(p_j)^{a_j-1})</math>

== 예 ==
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
* <math>n\mapsto n^k</math> (<math>k</math>는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
** <math>n\mapsto 1</math>: 1을 값으로 하는 [[상수 함수]]. 거듭제곱의 지수가 <math>k=0</math>인 경우이다.
** <math>n\mapsto n</math>: [[항등 함수]]. 거듭제곱의 지수가 <math>k=1</math>인 경우이다.
* <math>n\mapsto\delta_{n,1}</math>: <math>n</math>이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
* <math>n\mapsto(n/p)</math> (<math>p</math>는 소수): [[르장드르 기호]]. <math>n</math>이 <math>p</math>에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, <math>p</math>의 배수일 경우 0을 취한다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
* <math>n\mapsto\phi(n)</math>: [[오일러 피 함수]]. <math>n</math>보다 작고 <math>n</math>과 서로소인 양의 정수의 개수
* <math>n\mapsto\mu(n)</math>: [[뫼비우스 함수]]. <math>n</math>이 [[제곱 인수가 없는 정수]]일 경우, <math>n</math>의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. <math>n</math>이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
* <math>n\mapsto\sigma_k(n)</math> (<math>k</math>는 음이 아닌 정수): [[약수 함수]]. <math>n</math>의 모든 양의 약수의 <math>k</math>제곱의 합
** <math>n\mapsto d(n)</math>: <math>n</math>의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 <math>k=0</math>인 경우이다.
** <math>n\mapsto \sigma(n)</math>: <math>n</math>의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 <math>k=1</math>인 경우이다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수
:<math>n\mapsto r_2(n)</math>
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
:<math>1=1^2+0^2=0^2+1^2=(-1)^2+0^2=0^2+(-1)^2</math>
즉,
:<math>r_2(1)=4\ne 1</math>
이다.

[[폰 망골트 함수]]
:<math>n\mapsto\Lambda(n)</math>
는 <math>n</math>이 어떤 소수 <math>p</math>의 양의 정수 제곱일 경우 <math>\ln p</math>를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
:<math>\Lambda(1)=0\ne 1</math>
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[오일러의 곱셈 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Multiplicative arithmetic function}}
* {{매스월드|id=MultiplicativeNumberTheoreticFunction|title=Multiplicative number theoretic function}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론적 함수]]