곡면 종수 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''곡면 종수'''(曲面種數, {{llang|en|genus of a surface}})는 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체|유향]] [[곡면]]을 완전히 분류하는, 음이 아닌 정수 값을 가진 위상 불변량이다. 비가향 곡면이나 대수곡선에 대해서도 정의된다.

== 정의 ==
=== 위상수학 ===
==== 유향 곡면 ====
[[파일:Mug_and_Torus_morph.gif|섬네일|이 애니메이션에 나오는 커피잔과 도넛은 모두 종수 1이다.]]
[[연결 공간|연결]] 유향 곡면의 종수는 결과 [[다양체]]의 연결성을 보존하고 교차하지 않는 [[정수|닫힌]] [[곡선|단순 곡선]]을 따라 자를 수 있는 최대 절단 수를 나타내는 '''정수'''이다.<ref>Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.</ref> 이때 종수는 손잡이의 수와 같다고도 할 수 있다. 2차원 [[연결 공간|연결]] [[다양체]] <math>\Sigma</math>가 다음과 같은 [[연결합]]과 [[위상 동형]]이라고 하자.
:<math>\Sigma \cong (\mathbb T^2)^{\#g}</math>
여기서 <math>\mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb S^1</math>은 2차원 [[원환면]]이다. 이 경우, <math>\Sigma</math>의 '''종수'''가 <math>g\in\mathbb N</math>라고 한다. 마찬가지로, 위상 동형 대신 [[미분 동형]]의 개념을 사용할 수 있다. 그러나 2차원에서는 모든 [[다양체]]는 유일하게 [[매끄러움 구조]]를 가지며, 모든 위상 동형은 미분 동형과 [[호모토픽]]하므로 상관이 없다.  또는, [[곡면|닫힌 곡면]]의 경우, [[오일러 지표|오일러 특성]]과 종수의 관계 <math>\chi=2-2g</math>를 통해 정의할 수 있다. 여기서 ''g''는 종수이다. ''b''개의 [[경계 (위상수학)|경계]] 구성 요소가 있는 곡면의 경우 방정식은 <math>\chi=2-2g-b</math>이다. 순진한 용어로, 종수는 다양체에 있는 "구멍"의 수이다("구멍"은 도넛 구멍이라는 의미로 해석되며 종수가 0인 구는 이러한 의미에서 구멍이 없는 것으로 본다). [[원환면]]에는 이러한 구멍이 1개 있는 반면 [[구 (기하학)|구]]에서는 0개이다.

예를 들어:

* [[구 (기하학)|구]] '''S'''<sup>2</sup>와 [[원판]]은 모두 종수가 0이다.
* [[원환면]]은 손잡이가 있는 커피 잔의 곡면과 마찬가지로 종수 1을 가진다. 이것이 "위상수학자들은 커피잔과 도넛을 구분할 수 없는 사람들이다."라는 농담의 출처이다.

종수 ''g''인 곡면의 명시적 구성은 기본 다각형에 대한 문서에 나와 있다.

간단히 말해서, 유향 곡면 종수 값은 그것이 가지고 있는 "구멍"의 수와 같다.<ref>{{웹 인용|url=http://mathworld.wolfram.com/Genus.html|제목=Genus|성=Weisstein|이름=E.W.|웹사이트=MathWorld|url-status=live|확인날짜=4 June 2021}}</ref>

==== 비가향 곡면 ====
[[방향 (다양체)|비가향]] 닫힌 연결 곡면의 '''방향이 지정되지 않는 종수''', '''비가향 종수''', '''반종수''' 또는 '''오일러 종수'''는 [[구 (기하학)|구]]에 연결된 [[뫼비우스의 띠|교차모]]의 수를 나타내는 양의 정수이다. 또는 오일러 특성과의 관계 <math>\chi=2-k</math>를 통해 닫힌 곡면에 대해 정의할 수 있다. 여기서 ''k''는 비가향 종수이다.

예를 들어:

* 실 사영 평면은 비가향 종수 1이다.
* [[클라인 병]]은 비가향 종수 2이다.

==== 매듭 ====
[[매듭 (수학)|매듭]] ''K''의 '''[[자이페르트 곡면|종수]]'''는 ''K''에 대한 모든 [[자이페르트 곡면]]의 최소 종수로 정의된다.<ref>{{인용|url=Colin Adams (mathematician)|출판사=[[American Mathematical Society]]}}</ref> 그러나 매듭의 자이페르트 곡면은 [[다양체|경계 다양체]]이며 경계는 매듭, 즉 단위원과 동형이다. 이러한 곡면의 종수는 경계를 따라 단위 원판을 접착하여 얻은 2-다양체의 종수로 정의된다.

==== 손잡이 다양체 ====
3차원 손잡이 다양체의 '''종수'''는 결과 다양체를 분리하지 않고 매장된 [[원판]]을 따라 최대 절단 수를 나타내는 정수이다. 손잡이의 수와 같다.

예를 들어:

* [[공 (기하학)|공]]은 종수가 0이다.
* 원환체 <math>D^2\times S^1</math>는 종수 1이다.

==== 그래프 이론 ====
[[그래프 (그래프 이론)|그래프]]의 '''종수'''는 그래프가 자체적으로 교차하지 않고 ''n\''개의 손잡이가 있는 구(즉, 종수 ''n'' 의 유향 곡면)에서 그려질 수 있는 최소 정수 ''n''이다. 따라서 평면 그래프는 자체 교차 없이 구에 그릴 수 있기 때문에 종수 0이다.

[[그래프 (그래프 이론)|그래프]]의 '''비방향성 종수'''는 그래프가 ''n'' 교차모가 있는 구(즉, (비방향성) 종수 ''n'' 의 비방향성 곡면)에 교차하지 않고 그려질 수 있는 최소 정수 ''n''이다. (이 숫자는 '''반종수''' 라고도 한다. )

'''오일러 종수'''는 최소 정수 ''n'' 이므로 그래프가 ''n개의'' 교차모이 있는 구 또는 ''n/2'' 핸들이 있는 구에서 교차하지 않고 그려질 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Graphs on surfaces}}</ref>

위상 그래프 이론에는 [[군 (수학)|군]]의 종수에 대한 몇 가지 정의가 있다. Arthur T. White는 다음 개념을 도입했다. 군 ''G'' 의 종수은 ''G''에 대한 (연결된 무방향) [[케일리 그래프]]의 최소 종수이다.

그래프 종수 문제는 [[NP-완전]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=The graph genus problem is NP-complete|저널=Journal of Algorithms|성=Thomassen|이름=Carsten|연도=1989|권=10|호=4|쪽=568&ndash;576|doi=10.1016/0196-6774(89)90006-0|issn=0196-6774|zbl=0689.68071}}</ref>

=== 대수 기하학 ===
사영 대수 [[스킴 (수학)|스킴]] ''X''의 '''종수'''에 대한 [[산술종수|산술 종수]] 및 [[기하종수|기하 종수]]<ref>{{서적 인용|제목=Topological methods in algebraic geometry|성=Hirzebruch|이름=Friedrich|저자링크=Friedrich Hirzebruch|연도=1995|판=Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd|총서=Classics in Mathematics|출판사=[[Springer-Verlag]]|위치=Berlin|기타=Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel|원본연도=1978|isbn=978-3-540-58663-0|zbl=0843.14009}}</ref> 두 가지 정의가 있다: ''X''가 체에서 정의된 [[복소수|대수]] [[대수 곡선|곡선]]이고 ''X''에 [[접공간|특이점]]이 없으면 이러한 정의는 ''X''의 [[리만 곡면]] (복소 [[다양체]])에 적용된 위상수학적 종수의 정의와 일치한다. 예를 들어, [[대수기하학|대수 기하학]]에서 [[타원곡선|타원 곡선]]의 정의는 주어진 [[유리점|유리점이 있는]] 종수 1의 비특이 사영 곡선과 연결 된다.

[[리만-로흐 정리]]에 의해 기약 평면 <math>d</math>차 곡선 단면 <math>s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))</math>의 영점 궤적에 의해 주어진 기하학적 종수를 갖는다.

: <math>g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s</math>

여기서 ''s''는 적절하게 계산된 특이점의 수이다.

=== 미분 기하학 ===
미분 기하학에서 유향 다양체 <math>M</math>의 종수는 다음 조건이 성립하는 복소수 <math>\Phi(M)</math>로 정의할 수 있다.

* <math>\Phi(M_{1}\amalg M_{2})=\Phi(M_{1})+\Phi(M_{2})</math>
* <math>\Phi(M_{1}\times M_{2})=\Phi(M_{1})\cdot \Phi(M_{2})</math>
* <math>\Phi(M_{1})=\Phi(M_{2})</math> if <math>M_{1}</math> and <math>M_{2}</math> are [[보충 경계|conordant]].

다시 말해서, <math>\Phi</math>는 [[환 준동형사상|환 준동형]] <math>R\to\mathbb{C}</math>이다 , 여기서 <math>R</math>은 톰의 유향 보충 경계 환이다.<ref>Charles Rezk - Elliptic cohomology and elliptic curves (Felix Klein lectures, Bonn 2015. Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana, IL)</ref>

종수 <math>\Phi</math>는 다음과 같은 경우 연결된 콤팩트 구조를 가진 스피너 다양체의 모든 다발에 대한 곱셈이다. <math>\log_{\Phi}</math>가 어떤 <math>\delta,\varepsilon\in\mathbb{C}</math>에 대해 <math>\log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt</math> 인 [[타원 적분]]이면 이 종수를 타원형 종수라고 한다.

오일러 특성 <math>\chi(M)</math>은 보충 경계과 관련하여 변하기 때문에 이런 의미에서 종수가 아니다.

== 성질 ==
2차원 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]]들은 종수로서 (위상 동형 또는 미분 동형 아래) 완전히 분류된다.

2차원 연결 콤팩트 다양체의 [[오일러 지표]]는 다음과 같다.
:<math>\chi(\Sigma)=2-g(\Sigma)</math>

== 예 ==
각 종수에 따른 곡면은 다음과 같다.
<gallery>
파일:Sphere-wireframe.png|종수 0 곡면([[구 (기하학)|구]])
파일:Torus illustration.png|종수 1 곡면([[원환면]])
파일:Double torus illustration.png|종수 2 곡면
파일:Triple torus illustration.png|종수 3 곡면
파일:Bretzel5.png|종수 5 곡면
파일:OrthoCircles.png|종수 7 곡면
</gallery>

== 같이 보기 ==
* [[군 (수학)]]
* [[산술종수]]
* [[기하종수]]
* [[이차 형식 종수]]
== 각주 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Genus of a surface }}
* {{매스월드|id=Genus|title=Genus}}
* {{nlab|id=genus of a surface|title=Genus of a surface}}

{{전거 통제}}

[[분류:곡면]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:위상 그래프 이론]]