고전전자반지름 문서 원본 보기

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'''고전전자반지름'''({{Llang|en|classical electron radius}})는 '''고전전자기학'''에서의 [[전자]] [[반지름]]으로, [[과학 기술 데이터 위원회|CODATA]]에서 발표하는 [[물리 상수]] 중 하나다. 고전전자반지름은

: <math>\begin{align}
r_\text{e}&=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_\text{e}c^2}\\
&=2.817~940~326~2(13)\times 10^{-15}\ \text{m}
\end{align}</math>

로 주어진다.(2018년 CODATA의 권장값)<ref name="CODATA">{{웹 인용|url=https://pml.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?re|제목=CODATA Value: classical electron radius|웹사이트=[[미국 국립표준기술연구소|NIST]]|확인날짜=2023-12-27}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018|저널=Rev. Mod. phys.|성=Eite Tiesinga|성2=Peter J. Mohr|url=https://tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=931443|연도=2021|호=93|doi=10.1103/RevModPhys.93.025010|성3=David B. Newell|성4=Barry N. Taylor}}</ref>여기서 {{수학 변수|e}}는 [[기본 전하]], {{수학 변수|c}}는 진공에서의 [[빛의 속력]], {{수학|''m''{{sub|e}}}}은 전자의 [[질량]], {{수학|''&epsilon;''{{sub|0}}}}는 진공에서의 [[유전율]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Introduction to Quantum Mechanics|url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000grif|성=Griffiths|이름=David J.|성2=Schroeter|이름2=Darrell F.|날짜=2018|판=3|출판사=Cambridge University Press|쪽=[https://archive.org/details/introductiontoqu0000grif/page/n184 167]|장=4. Quantum Mechanics in Three Dimensions|doi=10.1017/9781316995433|isbn=978-1-107-18963-8|추신=문제 4.28에 기재됨.}}</ref>

== 로런츠 전자기론 ==
현재는 전자를 공간적 크기가 없는 [[점전하]]가 아니라 [[현상 (철학)|물리현상]]으로 다뤄지고 있지만,<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.co.kr/books?id=KmwCsuvxClAC&pg=PA74&redir_esc=y&hl=kr|제목=Atomic Structure and Lifetimes: A Conceptual Approach|성=Curtis|이름=Lorenzo J.|연도=2003|판=Illustrated|출판사=Cambridge University Press|쪽=74|doi=10.1017/CBO9780511755552|isbn=978-0521829397}}</ref> [[1895년]]부터 [[헨드릭 로런츠]]가 제시한 고전적인 전자기론에서는 전자를 같은 [[전하]]를 지닌 [[공 (기하학)|구체]]라고 생각하였다.{{출처|날짜=2023-12-27}} 이 당시에 그 구의 반지름을 전하의 반지름이라고 생각했고, 이것이 고전전자반지름이라고 불리게 되었다.

=== 역사적 맥락 ===
로런츠의 전자기론은 전자기학의 발전으로부터 성립된 이론이다. 로런츠의 전자론이 성립하는데는 아래와 같은 전자역학의 역사적인 사건들이 있었다.

* [[1833년]] [[패러데이의 전기분해 법칙|패러데이 법칙]]의 발견 - [[마이클 패러데이]]가 [[전기분해]]에서 생성되거나 소모되는 물질의 양은 이동하는 [[전하량]]에 비례한다는 사실을 발견했다.
* [[1874년]] 전자 명명 - [[조지 스토니]](George Johnstone Stoney)가 물질 1[[물질량|그램아톰(gramatom)]]([[홑원소 물질]] 1[[몰 (단위)|몰]])의 원자수가 일정한 값( [[아보가드로 상수|아보가드로 정수]] {{수학|''N''{{sub|A}}}} )을 갖는 [[아보가드로 법칙]]과 위의 패러데이의 전기분해 법칙을 통해 전기를 운반하는 입자가 존재한다고 예상하고 그것을 전자라고 칭했다.
* [[1897년]] 전자([[음극선]])의 존재 발견 - [[조지프 존 톰슨|조지프 톰슨]]은 [[캐소드|음극]]에서 [[애노드|양극]] 방향으로 휘는 빔에 대해서 [[전기장]]과 [[정자기학|자기장]]에서의 휘는 정도를 측정하여 [[비전하]] <math>{e}/{m_e}</math>을 구해 전자의 존재를 확인했다.
* [[1906년]] [[기름방울 실험]] - [[로버트 앤드루스 밀리컨]]이 약 10년간 진행한 기름방울 실험으로 전하량 ''{{mvar|e}}''의 존재와 그 양을 정밀하게 측정하는데 성공했고, 이로인해 전자의 질량 {{math|''m''{{sub|e}}}}도 알게 되었다.

=== 전자의 반지름 ===
로런츠의 전자기론에서 물질을 전자와 양의 [[하전 입자]]([[양성자]])로 이루어진 입자로 보고, 물질의 [[열역학|열적]], [[광학|광학적]], [[전자기학|전자기적]] 성질을 [[고전역학]]과 [[고전 전자기학|고전전자기학]]을 사용해서 설명했다..로런츠의 전자기론에서 전자는 표면적으로 같은 전하분포를 하는 대전된 구체로 보아, 정지 에너지와 [[전기적 위치 에너지|정전 에너지]]가 같은 것으로 고찰했다. 그리고 수식적으로 도출된 구체의 반지름을 전자의 반지름으로 생각했다.

전하가 {{수학 변수|q}}이고 반지름이 {{수학 변수|r}}인 하전입자의 전기적 퍼텐셜 에너지는 [[쿨롱 법칙]]에 의해

<math>E= \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q^2}{r}</math>

으로 나타나고, 전자의 전하를 {{수학 변수|e}}, 반지름을 {{수학|''r''{{sub|e}}}}로 두면 전자의 전기적 퍼텐셜 에너지는

<math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{e^2}{r_e}</math>

로 나타난다. 이 전기적 퍼텐셜 에너지는 정지 에너지와 같고, [[일반 상대성이론]]에서 [[정지 에너지]]는

<math>E=mc^2</math>

으로 주어지므로, 전자 질량 <math>m_e</math>에 대하여 전자의 반지름 {{수학|''r''{{sub|e}}}}은

<math>m_e c^2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r_e}</math>

<math>\therefore r_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{m_e c^2}</math>

이다.

진공에서의 유전율 {{수학|''&epsilon;''{{sub|0}}}}는 [[맥스웰 방정식]]에서 빛의 속력 <math>c</math>와 진공에서의 [[투자율]] {{수학|''&mu;''{{sub|0}}}}와 연관이 되어 있으므로, {{수학|''&mu;''{{sub|0}}}}에 대해서 고전전자반지름 {{수학|''r''{{sub|e}}}}을 기술하면

<math>r_e = \frac{\mu_0 e^2}{4 \pi m_e}</math>

이다.

== 정전기적 자체 에너지 ==
전하량이 <math>q</math>이고 반지름이 <math>r</math>로 주어진 구를 만드는데 필요한 에너지를 고려함으로써 고전전자반지름의 길이 스케일을 생각해 볼 수 있다. 전하량이 <math>q</math>이고, 거리가 <math>r</math>만큼 떨어진 곳의 정전기적 퍼텐셜은

<math>V(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r}</math>

이다. 이제 여기서 미소 추가 전하량 <math>dq</math>을 무한대에서 가져오려면 계에 에너지 <math>dU</math>만큼 넣어야 하고, 그 에너지는 다음과 같이 주어질 것이다.

<math>dU = V(r)dq</math>

공이 일정한 전자 밀도 <math>\rho</math>를 가진다고 가정하면,

<math>q=\rho \frac{4}{3} \pi r^3</math>이고, <math>dq=\rho 4 \pi r^2 dr</math>이다.

이제 <math>dU</math>를 <math>r</math>에 대해 0에서부터 구의 반지름 <math>r</math>까지 적분시키고, <math>q</math>에 대해 기술하면 총 에너지 <math>U</math>는

<math>U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{3}{5}\frac{q^2}{r}</math>

이다. 이 에너지를 물체가 가지고 있는 정전기적 [[자체 에너지]]라고 한다. 전하량 <math>q</math>는 이제 전자의 전하 <math>e</math>로 해석할 수 있고, 에너지 <math>U</math>는 전자의 상대론적 질량-에너지 <math>mc^2</math>와 같이 둘 수 있다. 그리고, 숫자 계수 3/5는 전하밀도가 균일하다는 가정 하에 특정한 수로 간주해 무시할 수 있다. 이렇게 되면 반지름 <math>r</math>은 고전전자반지름 <math>r_e</math>로 정의되고, 이제 이건 위의 표현과 같이 주어진다.

이 미분을 사용한 풀이는 <math>r_e</math>이 실제 전자의 반지름을 말하지 않는다는 것은 유념할 필요가 있다. 이건 오로지 전자의 정전기적 자체 에너지와 질량-에너지 스케일을 차원적으로 연결하기 위해서만 만들어졌다.

== 다른 물리상수와의 연관성 ==
[[미세 구조 상수|미세구조상수]] {{수학 변수|&alpha;}}와 [[뤼드베리 상수]] {{수학|''R''{{sub|&infin;}}}} , [[보어 반지름]] {{수학|''a''{{sub|0}}}}, 전자의 [[콤프턴 파장]] {{수학|''&lambda;''{{sub|e}}}}를 각기

<math>\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} , R_\inf = \frac{\alpha^2 m_e c}{2h} , a_0 = \frac{\alpha}{4\pi R_inf} , \lambda_e = \frac{h}{m_e c}</math>

라 [[정의 (논리학)|정의]]하면 고전전자반지름 {{수학|''r''{{sub|e}}}}은

<math>r_e = \alpha^2 a_0 = \frac{\alpha \lambda_e}{2\pi}</math>

로 간략하게 표현할 수가 있다. 또, [[길이]] [[차원]]을 가진 물리상수인 보어 반지름 {{수학|''a''{{sub|0}}}}나 콤프턴 파장 {{수학|''&lambda;''{{sub|e}}}}(환산 콤프턴 파장 {{수학|{{sfrac|''&lambda;''{{sub|e}}|2''&pi;''}}}})을 미세구조상수 {{수학 변수|&alpha;}}를 사용하여 밀접하게 연관 지을 수 있다. 여기서 {{수학 변수|h}}는 [[플랑크 상수]]이고, {{수학 변수|&#x127;}}는 플랑크 상수를 <math>2\pi</math>로 나눈 디랙 상수이다.

또, 전자에 대한 고전적인 [[전자기파]]([[빛]])의 [[산란|탄성산란]]인 [[톰슨 산란]]에서 [[산란 단면적]] {{수학|''&sigma;''{{sub|e}}}}가

<math>\sigma_e = \frac{8\pi}{3} r_e^2</math>

로 주어지는 것처럼 고전적으로 해석하는 범위에는 전자에 관한 고전전자반지름 {{수학|''r''{{sub|e}}}}은 유효한 물리상수이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==

* [[폴 디랙]] - [[1928년]]에 전자의 물질적이지 않은 성질을 [[특수상대론]]적 [[양자역학]]의 관점으로 기술하였고, [[양자전기역학]]이나 [[입자물리학]]의 발전에 기여했다.
* [[응집물질물리학]]
* [[고체물리학]]
* [[w:Klein-Nishina formula|클라인-니시나 식(영어판 위키피디아)]]

[[분류:물리 상수]]
[[분류:고체물리학]]
[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:재료과학]]
[[분류:전자]]
[[분류:전자기학]]